Question

1- Determine o módulo do número complexo z=3-2i.
a) $\sqrt{11}$
b) $\sqrt{12}$
c) $\sqrt{2}$
d) $\sqrt{13}$

2- Qual é o argumento do número complexo $z=1+\sqrt{3i}$
a) $teta \\ =\frac{\pi }{6} rad$
b) $teta\\ =\frac{\pi }{3} rad$
c) $teta\\ =\frac{\pi }{4} rad$
d) $teta\\ =\frac{5\pi }{6} rad$

Answer 1

• O que é o módulo e o argumento de um número complexo?

Para um número complexo na forma $z=a+bi$, temos que

O módulo é o comprimento do vetor que representa o número no plano cartesiano (ver imagem anexa) e é dado por

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

O argumento é o ângulo que esse vetor forma com o eixo das abcissas no plano cartesiano (ver imagem anexa) e, portanto

$sen~\theta=\dfrac{b}{|z|}\\\\\\cos~\theta=\dfrac{a}{|z|}$

• Resolvendo as questões

1 - Determine o módulo do número complexo $z=3-2i$.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\\\|z|=\sqrt{3^2+(-2)^2}\\\\|z|=\sqrt{9+4}\\\\\boxed{\boxed{|z|=\sqrt{13}}}$

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

2- Qual é o argumento do número complexo $z=1+\sqrt{3}i$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\\\|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\\\\|z|=\sqrt{1+3}\\\\|z|=\sqrt{4}\\\\|z|=2$

$sen~\theta=\dfrac{b}{|z|}\\\\sen~\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\theta=arcsen~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{\boxed{\theta=60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}~rad}}$

ou

$cos~\theta=\dfrac{a}{|z|}\\\\cos~\theta=\dfrac{1}{2}\\\\\theta=arccos~\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{\boxed{\theta=60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}~rad}}$

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/28450656

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