Question

1. Determine o intervalo de convergência das séries de potências.

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Answer 1

Resposta:

a) R = 1

b) R = 1

c) R = 0

Explicação passo a passo:

Dada a série de potência  $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ o raio de convergência é dado por    $R = \left(\lim\sqrt[n]{a_n}\right)^{-1}$ ou  $R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$.

a)   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2-3}$

Aqui temos $a_n = \frac{1}{n^2-3}$ então    $R = \lim\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim\frac{(n+1)^2-3}{n^2-3} = \lim \frac{n^2+2n-2}{n^2-3} = \lim\frac{n^2(1+2/n-2/n^2)}{n^2(1-3/n^2)} = 1$

b)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}$

$a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$, então

                          $R = \lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim\frac{n+1}{n} = 1$

c)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^n}$

$a_n = \frac{1}{n^n}$, então

                 $R = (\lim \sqrt[n]{a_n})^{-1} = (\lim\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}})^{-1} = (\lim\frac{1}{n})^{-1} = 0$