Question

1) Determine o domínio e o período das seguintes funções. Lembrando que y = f(x). a) f(x) = sen 3x b) y = sen 7x c) f(x) = sen (2x + pi/4) d) y = 2cos (2X + pi/3) e) f(x) = 1 + sen (pi.X - 3) f) y = 3senx e apresentar cálculos​

Answer 1

Uma senoide (função seno ou cosseno), de forma geral, é dada da seguinte forma:

$\boxed{f(x)~=~a\,.\,sen(w.x+\theta)+b}$

Nesse modelo, temos:

$\rightarrow~a:~Amplitude~da~senoide\\\\\\\rightarrow~b:~Offset,~graficamente,~pode~ser~vista~como~um~\\~~~~~~~~~~~"deslocamento"~vertical~da~funcao~em~relacao~ao~eixo~"x"\\\\\\\rightarrow~\theta:~Fase,~graficamente,~pode~ser~vista~como~um~"deslocamento"\\~~~~~~~~~~~horizontal~da~funcao~em~relacao~ao~eixo~"y"\\\\\\\rightarrow~w:~Frequencia~Angular,~se~relaciona~ao~periodo~(T)~por:~T~=~\frac{2\pi}{w}$

Para o período, neste exercício, vamos nos preocupar apenas com o valor da frequência angular das senoides, já que os outros "componentes" não afetarão o período das funções.

Já o domínio, conjunto de valores que a variável dependente ("x", neste caso) pode assumir, será igual para todos os casos apresentados.

Note, podemos calcular o seno e o cosseno de qualquer valor Real, assim o domínio para as senoides é o conjunto dos números Reais.

Vamos então analisar o período (T) para cada caso.

a)

$Dominio~=~\{x\in\Re\}$

$Para~esta~senoide,~seguindo~o~modelo~apresentado\\anteriormente,~temos:\\\\\left\{\begin{array}{cr}a=1&\\w=3&\Rightarrow~~\boxed{T=\dfrac{2\pi}{3}}\\\theta=0&\\b=0&\end{array}\right.$

b)

$Dominio~=~\{x\in\Re\}$

$Para~esta~senoide,~seguindo~o~modelo~apresentado\\anteriormente,~temos:\\\\\left\{\begin{array}{cr}a=1&\\w=7&\Rightarrow~~\boxed{T=\dfrac{2\pi}{7}}\\\theta=0&\\b=0&\end{array}\right.$

c)

$Dominio~=~\{x\in\Re\}$

$Para~esta~senoide,~seguindo~o~modelo~apresentado\\anteriormente,~temos:\\\\\left\{\begin{array}{cr}a=1&\\w=2&\Rightarrow~~T=\dfrac{2\pi}{2}~\Rightarrow~\boxed{T~=~\pi}\\\theta=\dfrac{\pi}{4}&\\b=0&\end{array}\right.$

d)

$Dominio~=~\{x\in\Re\}$

$Para~esta~senoide,~seguindo~o~modelo~apresentado\\anteriormente,~temos:\\\\\left\{\begin{array}{cr}a=2&\\w=2&\Rightarrow~~T=\dfrac{2\pi}{2}~\Rightarrow~\boxed{T~=~\pi}\\\theta=\dfrac{\pi}{3}&\\b=0&\end{array}\right.$

e)

$Dominio~=~\{x\in\Re\}$

$Para~esta~senoide,~seguindo~o~modelo~apresentado\\anteriormente,~temos:\\\\\left\{\begin{array}{cr}a=1&\\w=\pi&\Rightarrow~~T=\dfrac{2\pi}{\pi}~\Rightarrow~\boxed{T~=~2}\\\theta=-3&\\b=1&\end{array}\right.$

f)

$Dominio~=~\{x\in\Re\}$

$Para~esta~senoide,~seguindo~o~modelo~apresentado\\anteriormente,~temos:\\\\\left\{\begin{array}{cr}a=3&\\w=1&\Rightarrow~~T=\dfrac{2\pi}{1}~\Rightarrow~\boxed{T~=~2\pi}\\\theta=0&\\b=0&\end{array}\right.$

Na figura anexada é possível conferir o gráfico dessas funções.

Estão na ordem de cores: vermelho, azul, verde, roxo, preto, laranja.