Question

1 - Determine o conjunto imagem de cada função quadrática:
a) f(x) = 4x2 -8 +4
b) f(x) = x2 + 3x - 10
c) f(x) = x2-3x - 4

URGENTE​

Answer 1

a) A Imagem dessa função é Im = { Y ≥ 0 }

( Todo o eixo das ordenadas, a partir de 0 subindo até o infinito )

b) A Imagem da função é Im = { Y ≥ - 49/4 }

( Todo o eixo das ordenadas, a partir de - 49/4 subindo até o infinito )

c) A Imagem da função é Im = { Y ≥ - 25/4 }

( Todo o eixo das ordenadas, a partir de - 25/4 subindo até o infinito)

Explicação passo-a-passo:

O gráfico de uma função de segundo grau é uma parábola ( Arco em forma de U ou ∩ )

Quando a função é crescente a parábola tem sua concavidade voltada para cima (em forma de U)

Quando a função é decrescente a parábola tem sua concavidade voltada para baixo (em forma de ∩)

O que determina se a função será crescente ( U ) ou decrescente ( ∩ ) é o seu coeficiente angular a. Aquele que é acompanhado do X².

ax² + bx + c = y

Se o a > 0 ( a positivo ) então função é crescente

Se a < 0 ( a negativo ) então a função é decrescente.

Na sua questão temos:

a) f(x) = 4x² - 8 + 4 → a = 4

b) f(x) = x² + 3x - 10 → a = 1

c) f(x) = x² - 3x - 4 → a = 1

Todos são positivos, o que significa que as funções são todas crescentes e seu gráfico terá a concavidade para cima (em forma se U )

Pronto. Agora que já sabemos identificar se é crescente ou decrescente, vamos entender o conceito da imagem de forma bem simplificada.

A imagem será o toda a reta Y (eixo das ordenadas) que corresponde ao gráfico de parábola.

y = Im (imagem)

Agora só basta saber mais um ''parâmetro'' e você saberá achar toda imagem de uma função de segundo grau.

Uma função decrescente tem sua parábola voltada para baixo. Por isso, ela tem um ponto máximo que corresponde ao vértice da parábola (curva) e o ponto mínimo é infinito, porque as retas continuam a descer.

Uma função crescente tem sua parábola voltada para cima. Por isso, ela tem um ponto mínimo que corresponde ao vértice da parábola (curva) e o ponto máximo é infinito, porque as retas continuam a subir.

Como as nossas funções são crescentes, teremos um ponto mínimo (que corresponde ao vértice) e o gráfico tenderá a subir ao infinito.

Agora só precisamoa achar em que ponto de Y ficará o vértice em cada equação.

A fórmula para achar o ponto máximo ou mínimo em Y é:

(m para mínimo e M para máximo)

Ym ou YM = - ∆ / 4a

(vamos achar o delta de cada e calcular)

a) 4x² - 8x + 4

∆ = b² - 4ac → ∆ = 64 - 64 → ∆ = 0

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b) x² + 3x -10

∆ = b² - 4ac → ∆ = 9 + 40 → ∆ = 49

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c) x² - 3x - 4

∆ = b² - 4ac → ∆ = 9 + 16 → ∆ = 25

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Agora calculando o y mínimo saberá o menor valor para a imagem das funções

a ) Ym = - ∆/4a

Ym = - 0 / 4·4 → Ym = 0

A Imagem dessa função é Im = { Y ≥ 0 }

( Todo o eixo das ordenadas, a partir de 0 subindo até o infinito )

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b) Ym = - ∆/4a

Ym = - 49 / 4 · 1 → Ym = - 49/4

A Imagem dessa função é Im = { Y ≥ - 49/4 }

( Todo o eixo das ordenadas, a partir de - 49/4 subindo até o infinito )

------------------------------------------------

c) Ym = - ∆/4a

Ym = -25 / 4 · 1 → Ym = - 25/4

A Imagem dessa função é Im = { Y ≥ - 25/4 }

( Todo o eixo das ordenadas, a partir de - 25/4 subindo até o infinito)

Obs: Olhe o gráfico que deixei de duas funções do segundo grau quaisquer. A imagem é a ordenada (eixo y) em verde.

Bons estudos!