Question

1. Determine o conjunto imagem das funções quadraticas:
Y = x² - 2x - 3
Y = - x² + 6 x - 9
2. Determinar os valores de M para que a função f (x) = -x² - 4 x - (- m + 1) assuma valores negativos para todo X real.
Por favor, eu preciso da resposta até hoje às 23:50!!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

a) $\sf y=x^2-2x-3$

$\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)$

$\sf \Delta=4+12$

$\sf \Delta=16$

$\sf y_V=\dfrac{-16}{4\cdot1}$

$\sf y_V=\dfrac{-16}{-4}$

$\sf y_V=-4$

Esse é o valor mínimo dessa função, pois o coeficiente a = 1 é positivo.

O conjunto imagem é:

$\sf \red{Im=\{y\in\mathbb{R}~|~y \ge -4\}}$

b) $\sf y=-x^2+6x-9$

$\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-9)$

$\sf \Delta=36-36$

$\sf \Delta=0$

$\sf y_V=\dfrac{-0}{4\cdot(-1)}$

$\sf y_V=\dfrac{0}{-4}$

$\sf y_V=0$

Esse é o valor máximo dessa função, pois o coeficiente a = -1 é negativo.

O conjunto imagem é:

$\sf \red{Im=\{y\in\mathbb{R}~|~y \le 0\}}$

2) Para que a função assuma valores negativos para todo x, devemos ter $\sf \Delta < 0$

$\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot[-(-m+1)]$

$\sf \Delta=16+4\cdot(m-1)$

$\sf \Delta=16+4m-4$

$\sf \Delta=12+4m$

Assim:

$\sf 12+4m < 0$

$\sf 4m < -12$

$\sf m < \dfrac{-12}{4}$

$\sf m < -3$

$\sf \red{S=\{m\in\mathbb{R}~|~m < -3\}}$