Question

1) Determine m real para que a equação
m(2x - 1)2 -2X (2 x-1)+1=0
adimita pelo menos uma raiz real​

Answer 1

O valor de m deverá ser menor ou igual a 5/4.

A equação é m(2ˣ - 1)² - 2ˣ(2ˣ - 1) + 1 = 0.

Vamos fazer a substituição y = 2ˣ. Sendo assim, obtemos a seguinte equação:

m(y - 1)² - y(y - 1) + 1 = 0

m(y² - 2y + 1) - y² + y + 1 = 0

my² - 2my + m - y² + y + 1 = 0

y²(m - 1) - y(2m - 1) + (m + 1) = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. O valor de delta é igual a:

Δ = (-2m + 1)² - 4.(m - 1).(m + 1)

Δ = 4m² - 4m + 1 - 4(m² - 1)

Δ = 4m² - 4m + 1 - 4m² + 4

Δ = -4m + 5.

Como queremos que a equação possua pelo menos uma raiz real, então o valor de delta deverá ser maior ou igual a zero.

Dito isso, obtemos a seguinte inequação:

-4m + 5 ≥ 0

-4m ≥ -5

4m ≤ 5

m ≤ 5/4.