Question

1 - Determine m e n, de modo que o polinômio p(x)=2x³ mx² nx - 4 seja divisível pelo polinômio d(x)= x² - 2x 1
2 - Determine p, sabendo que, ao dividí-lo por h(x)= x³ x² 3x 1, o quociente é
q(x)= x² 2x 3 e o resto é 0.

Answer 1

1)

Método da chave:

  2x³ + mx² + nx - 4 | x² - 2x + 1
- 2x³ +  4x² - 2x         2x
---------------------
0 + (mx² + 4x²) + (nx - 2x)



  2x³ + mx² + nx - 4 | x² - 2x + 1
- 2x³ +  4x² - 2x         2x + (m + 4)
---------------------
      (mx² + 4x²) + (nx - 2x) - 4
     (-mx² - 4x²) + (2mx + 8x) - (m + 4)
-----------------------------------------------
               0  +   (nx + 2mx + 6x) + (- 4 - m - 4) ---> resto da divisão



Para ser uma divisão exata o resto deve ser igual a zero. Logo:


(nx + 2mx + 6x) + (-m - 8) = 0

(n + 2m + 6).x + (-m - 8) = 0


(-m - 8) = 0
-m - 8 = 0
-m = 8 . (-1)
m = -8


(n + 2m + 6).x = 0
(n + 2.(-8) + 6).x = 0
n + 2.(-8) + 6 = 0/x
n - 16 + 6 = 0
n - 10 = 0
n = 10


2)

p(x) = ?
h(x)= x³ + x² + 3x + 1
q(x)= x² + 2x + 3
r(x) = 0


Fazendo h(x) . q(x):

(x³ + x² + 3x + 1) . (x² + 2x + 3)
x⁵ + 2x⁴ + 3x³ + x⁴ + 2x³ + 3x² + 3x³ + 6x² + 9x + x² + 2x + 3
x⁵ + 2x⁴ + x⁴ + 3x³ + 2x³ + 3x³ + 3x² + 6x² + x² + 9x + 2x + 3
x⁵ + 3x⁴ + 8x³ + 10x² + 11x + 3


p(x) = x⁵ + 3x⁴ + 8x³ + 10x² + 11x + 3