Question

1) Determine a seguinte soma, cujas parcelas são números consecutivos : 37+38+39+...+1405



2) Qual a soma dos 200 primeiros números pares positivos ​

Answer 1

Resposta:

1 )  987 049       2 ) 40 200

Explicação passo a passo:

1 )

Vamos fazer como o Matemático Carl Gauss fez.

Colocamos , numa linha ,por ordem crescente os números  de 1 a 1 405

Por baixo colocamos os mesmos números por ordem decrescente.

E somamos coluna  a coluna

       1             2             3    ................................... 1405

+   1405     1404       1403  ....................................      1

     1406     1406      1406 ..................................... 1406

Temos 1 405 parcelas que somadas, na vertical dá , cada uma ,1 406

Ou seja →  1405 * 1406 =  1 975 430

Mas somei duas vezes.

Só queria somar uma vez.

Sem problema.

Divide-se por 2

1 975 430 : 2 =  987 715     Soma dos 1405  primeiros números consecutivos

Mas .....

Eu só queria do 37 até  1405 !!

Não há problema.

Vamos somar de 1 até 36, pelo mesmo método

   

   1      2    3   ................................ 36

  36   35  34 ....................................1

   37    37  37                              37

A soma de 1 até 36 incluído = ( 36 * 37 ) = 1 332

Dividindo 1 332 por 2 = 666

A soma de 37 até 1405 = 987 715 - 666 = 987 049

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Isto que fiz aqui é cima é semelhante ao que o famoso matemático

Carl Gauss fez.

Pelo menos assim reza a história.

Na sua meninice Carl Gaus estava numa turma que até era barulhenta

de vez em quando.

O professor de Matemática perante o ruído da turma resolveu dar-lhes algo

para se calarem um bom bocado de tempo.

Mandou que somassem todos os números inteiros de 1 a 100.

Isto vai demorar, pensou o professor.

Lembrem-se que não havia calculadoras eletrónicas nessa altura .

Mas, eis se não quando , passado muito pouco tempo o menino Carl Gauss

se levantou e entregou o resultado ao professor !

Vejamos o que ele fez

Colocou valores em duas linhas horizontais.

Uma por ordem crescente.

A outra por ordem decrescente.

E somou cada coluna

      1       2    3     4  ......................................98   99   100

+   100  99   97   96 ....................................    3     2       1

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    101   101   101  101 ..................................... 101    101    101

Ele tinha 100 colunas cuja soma de cada coluna era igual a 101.

Então 100 colunas * 101 = 10 100

Como tinha duplicado os valores do problema, dividiu por 2.

10 100 : 2 = 5 500

E estava certo !!

A soma dos inteiros de 1 a 100 dá 5 500

2)

Os 200 pares positivos consecutivos formam uma progressão aritmética de

razão = 2

razão = $a_{2} -a_{1}$ = segundo termo menos primeiro termo

= 4 - 2 = 2

razão igual a 2

A soma de n termos consecutivos, numa Progressão Aritmética ( PA ) é

dada pela fórmula

$S_{n} =\dfrac{n*(a_{1} +a_{n} )}{2}$    

Onde

$S_{n}$  = soma de "n" termos consecutivos

$a_{1}$  = primeiro termo

$a_{n}$  = último dos termos consecutivos

$n$    = número de termos consecutivos

Neste caso temos a soma dos 200 primeiros pares positivos :

$S_{200} =\dfrac{n*(a_{1} +a_{n} )}{2}$            

O primeiro número par é zero

Mas :

O zero é um caso particular, sendo considerado um número neutro, pois

ele não é positivo e nem negativo.

Por isso como nos pedem os 200 primeiros pares positivos consecutivos,

vamos começar no valor 2 .

Calcular o ducentésimo número par

A expressão geral das PA . Ela dá-nos o valor de cada termo da PA

$A_{n} =a1+(n-1)*r$

$A_{n}$ = termo geral da PA

$a1$  = primeiro termo

n = ordem do termo

r = razão

Como quero saber qual o valor do termo de ordem 200

( chama-se o ducentésimo termo )

$A_{200} =2+(200-1)*2$

$A_{200} =2+199*2=400$  

O ducentésimo número par é o 400

Agora vou usar a fórmula da Soma de "n" termos consecutivos de uma PA

$S_{200} =\dfrac{200*(2 +400)}{2} =402*100=40200$      

A soma dos 200 primeiros números pares positivos = 40 200

Bons estudos.

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( * ) multiplicação ​  ( : )  divisão