Question

1 — Determine a) o 10º termo da PG (5, –15, 45, –135, ...). b) o 5º termo da PG (1, 5, ...). c) a razão da PG na qual a1 = 2 e a7 = 8192. d) o número de termos de uma PG em que an = 1458, a1 = 18 e q = 3.

Answer 1

Em uma Progressão Geométrica, temos que o termo geral é calculado pela seguinte fórmula:

$a_n = a_1.q^{n-1}$

Onde n é a posição do termo, $a_n$ o termo na posição n e q a razão.

Assim, respondendo ao seu exercício:

a)

$a_{10} = 5.(-3)^{10-1}\\ a_{10} = 5.(-3)^9\\ a_{10} = -98415$

b)

$a_5 = 1.5^{5-1}\\a_5 = 5^4\\a_5 = 625$

c) Sabemos o primeiro e sétimo termos, assim podemos escrever a fórmula do termo geral da PG de forma a encontrarmos a razão.

$a_7 = a_1.q^{7-1}\\8192 = 2q^6\\q^6 = 4096\\q = 4$

d) Da mesma forma que fizemos no item anterior, usamos a formula desta vez para descobrir o valor de n.

$1458 = 18.3^{n-1}\\81 = 3^{n-1}\\3^4 = 3^{n-1}\\n-1 = 4\\n = 5$

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Answer 2

(a) O 10º termo da PG é -98415.

(b) O 5º termos da PG é 3125.

(c) A razão da PG é 4.

(d) O número de termos da PG é 5.

Essa questão se trata de progressão geométrica. Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁ . qⁿ⁻¹, sendo q a razão calculada por q = aₙ₊₁/aₙ.

a) Nesta PG, temos:

a₁ = 5

q = -15/5 = -3

a₁₀ = 5 · (-3)¹⁰⁻¹

a₁₀ = 5 · (-19683)

a₁₀ = -98415

b) Nesta PG, temos:

a₁ = 1

q = 5/1 = 5

a₅ = 5 · 5⁵⁻¹

a₅ = 5 · 625

a₅ = 3125

c) Nesta PG, temos:

a₁ = 2

a₇ = 8192

8192 = 2 · q⁷⁻¹

4096 = q⁶

q⁶ = 2¹²

q⁶ = (2²)⁶

q = 2² = 4

d) Nesta PG, temos:

a₁ = 18

aₙ = 1458

q = 3

1458 = 18 · 3ⁿ⁻¹

81 = 3ⁿ/3¹

3ⁿ = 243

3ⁿ = 3⁵

n = 5

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