Question

1) Determine a força de atração gravitacional entre o Planeta Terra e a Lua. A massa da lua é 3/4.10^23 kg e a massa do nosso planeta é 6.10^24 kg. A distância entre o centro da Terra e o centro da Lua é de 3,84.10^8 m.

2) Visto que a Lua é um satélite terrestre, determine a velocidade que ela deve ter para se manter em órbita. Obtenha os dados do problema 1.

3) Um objeto tem peso X quando está sobre a superfície de um planeta hipotético. Considerando essa distância inicial como R, determine o que se pede caso esse objeto seja colocado numa altura equivalente a dois raios do planeta:
a) Qual será o novo valor da distância do objeto ao centro do planeta?
b) Qual o novo valor do peso do objeto?

4) Um objeto tem peso de 450N na superfície de um planeta. Caso a distância ao centro do planeta aumente de d para 5d, qual será o novo valor do peso?

5) Um satélite de 15 toneladas deverá ser colocado em órbita a uma altura de 200km. Determine sua velocidade para que se mantenha orbitando em torno do planeta. Use o raio terrestre como 6500km (6,5.10^6 m). Use G= 6,7.10^-11 N.m~2/kg^2.

Answer 1

Resposta:

1) F ≅ 2 x 10²⁰ N. 2) v ≅ 1 023 m/s. 3)a) R' = 3R. b) X' = 3X. 4) P' = 2 250 N. 5) v ≈ 7 746 m/s.

Explicação:

1. Ao estudar o movimento da Lua, Newton concluiu que a força que faz com que ela esteja constantemente em órbita é do mesmo tipo que a força que a Terra exerce sobre um corpo em suas proximidades. A partir daí criou a Lei da Gravitação Universal.

Lei da Gravitação Universal de Newton:

"Dois corpos atraem-se com força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade."

F = G(M.m)/d²

Onde:

F = Força de atração gravitacional entre os dois corpos ;

G = Constante de gravitação universal  que vale 6,7 x 10⁻¹¹ N.m²/kg²;

M e m = massa dos corpos ;

d = distância entre os centros de gravidade dos corpos.

Substituindo os dados fornecidos na equação da gravitação universal:

F = (6,7 x 10⁻¹¹ N.m²/kg²)(6 x 10²⁴ kg)(7,5 x 10²² kg)/(3,84 x 10⁸ m)²

F = 2,04467773 x 10²⁰ N ≅ 2 x 10²⁰ N.

2. Partindo do problema 1, podemos resolver essa questão através da aceleração centrípeta a(cp) que mantém a lua em órbita com a terra. Logo:

F = m.a(cp)

F/m = v²/R            (R = d)

v = √F.d/m

v = √(2 x 10²⁰ N)(3,84 x 10⁸ m)/(7,5 x 10²² kg)

v = √1 046 875

v ≅ 1 023 m/s = 3 683 km/h.

3. Utilizando o conceito de trabalho τ da força peso P quando está sobre a superfície desse planeta hipotético. Sabemos que para o trabalho temos:

τ = F.d

Utilizando os dados fornecidos temos inicialmente:

τ = X.R

Caso o objeto esteja colocado à uma altura H equivalente a dois raios do planeta, ou seja, H = 2R. Teremos então:

τ₁ = X.R'

τ₁ = X.(R + H)

τ₁ = X.(R + 2R)

τ₁ = X.(3R)

τ₁ = 3.X.R

a) será de R' = (R + H), sabendo que H = 2R, Portanto:

R' = (R + H)

R' = (R + 2R)

R' = 3R.

b) Igualando os trabalhos:

τ = τ₁

X'.R = X.R'

X'.R =  X.(3R)

X' = 3X.

4. Sabendo que o objeto tem uma força peso de P = 450N na superfície de um planeta, sabendo que ouve um aumento da distância ao centro do planeta de d para 5d, utilizando a analogia da questão 3.b:

τ = τ₁

P'.d = P.d'            (d' = 5d)

P'.d = P.(5d)

P' = 5P

P' = 5.(450 N)

P' = 2 250 N.

5. Utilizando a relação das equações da força gravitacional Newtoniana F e da aceleração centrípeta a(cp), teremos:

F = G(M.m)/d²

F = m.a(cp)

Sabendo que a distância d vai equivaler ao raio da terra R somado com à altura h da órbita do satélite. Sendo assim, igualando as equações:

m.a(cp) = G(M.m)/(R + h)²

a(cp) = G.M/(R + h)²

Sabendo que a aceleração centrípeta vale, a(cp) = v²/(R + h). Logo:

v²/(R + h) = G.M/(R + h)²

v = √G.M/(R + h).

Substituindo os dados fornecidos na equação para a velocidade obtida:

v = √(6,7 x 10⁻¹¹ N.m²/kg²)(6 x 10²⁴ kg)/(6,5 x 10⁶ m + 2,0 x 10⁵ m)

v = 7 745,96669 m/s ≈ 7 746 m/s.