Question

1) Determine a expressão y = f(x) da função cujo gráfico é
representado por uma parábola que:
a) intercepta os eixos nos pontos (-3,0), (1,0) e (0,6).
b) tem vértice (5, 1) e intercepta o eixo Oy em (0, 2).

Answer 1

• Que tipo de gráfico são esses?

Tratam-se de funções do segundo grau.

De forma mais específica, são parábolas.

• Como é descrita a equação de segundo grau?

Genericamente, a expressão que descreve funções do segundo grau é:

$\boxed{f(x) = ax^{2}+bx+c}$

onde a, b e c são números reais diferentes de zero.

Resolução:

• a) intercepta os eixos nos pontos (-3,0), (1,0) e (0,6).

Se a equação genérica da função do segundo grau é:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

Para encontrá-la, precisamos achar os termos a, b e c.

===> Ponto em que o gráfico intercepta o eixo y (x = 0):

Podemos, por meio da imagem, perceber que esse ponto é o 6.

Vamos utilizar a equação e o ponto (0,6).

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$f(0)=a0^{2}+0x+c=6$

$\boxed{\boxed{c = 6}}$

==> O termo c é o ponto em que a parábola cruza o eixo y (x = 0).

Quando c > 0, a parábola "corta" o eixo y acima da origem.

Quando c < 0, a parábola "corta" o eixo y abaixo da origem.

Quando c = 0, a parábola passa pela origem [ponto (0,0)].

==> Vamos utilizar os outros dois pontos que conhecemos para montar um sistema de equações.

• (-3,0):

$f(-3)=a(-3)^{2}+b.(-3)+c = 0$

$9a-3b+6 = 0$

• (1,0):

$f(1)=a(1)^{2}+b.(1)+6 = 0$

$a+b+6 = 0$

==> Resolvendo o sistema:

$9a-3b+6 = 0$

$a+b+6 = 0$

=> Multiplicando todos os termos da segunda equação por 3:

$9a-3b+6 = 0$

$3a+3b+18 = 0$

==> Somando as duas equações (termo a termo):

$(9a+3a) + (-3b+3b) + (6+18) = (0+0)$

$12a + 24 = 0$

$12a = -24$

$a = \frac{-24}{12}$

$\boxed{\boxed{a = -2}}$

(quando o a é menor que zero, a concavidade da parábola é para baixo)

=> Substituindo o "a" em qualquer uma das equações do sistema:

Eu escolhi substituir em:

$a+b+6 = 0$

$-2+b+6 = 0$

$4+b=0$

$\boxed{\boxed{b = -4}}$

(Quando o b é negativo, sabemos que a parábola vai "descer" após passar pelo eixo y)

==> Equação da primeira parábola:

Basta substituir a, b e c na equação genérica:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$\boxed{\boxed{f(x) = -2x^{2} -4x +6}}$

(ao efetuar as contas, podemos simplificar esses coeficientes, dividindo os dois lados e todos os termos por 2)

• b)  tem vértice (5, 1) e intercepta o eixo Oy em (0, 2).

Se a equação genérica da função do segundo grau é:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

Para encontrá-la, precisamos achar os termos a, b e c.

Usando a informação que descobrimos no item a):

==> O termo c é o ponto em que a parábola cruza o eixo y (x = 0).

$\boxed{\boxed{c = 2}}$

==> Vértice: (5, 1)

O "x do vértice" de uma parábola e dado por:

$\boxed{x_v = \frac{-b}{2.a}}$

O "y do vértice" de uma parábola e dado por:

$\boxed{y_v = \frac{-(b^{2}-4.a.c)}{4.a}}$

==> Utilizando a equação do "x do vértice":

$5 = \frac{-b}{2.a}$

$-b = 10.a$

$b = - 10.a$

==> Utilizando a equação do "y do vértice":

$1 = \frac{-((-10a)^{2}-4.a.2)}{4.a}$

$4.a = -(100.a^{2} - 8.a)$

$4.a = -100.a^{2} + 8.a$

$100.a^{2} + 4.a - 8.a = 0$

$100.a^{2} - 4.a = 0$

==> Colocando o a em evidência:

$a.(100.a - 4) = 0$

=>Temos duas respostas:

1) a = 0

(essa não convém, pois a precisa ser um número real diferente de zero)

2) $100.a - 4 = 0$

$100.a = 4$

$a = \frac{4}{100}$

$a = \frac{1}{25}$

$\boxed{\boxed{a=0{,}04}}}$

(esse é o nosso coeficiente a)

(a concavidade é para cima, pois a é positivo)

==> Utilizando a outra equação:

$b = - 10.a$

$b = -10.(\frac{4}{100})$

$\boxed{\boxed{b = -0,4}}$

(a parábola "desde" após passar pelo eixo y, pois b é negativo)

==> Equação da segunda parábola:

Basta substituir a, b e c na equação genérica:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$\boxed{\boxed{f(x) = 0{,}04x^{2} -0{,}4x +2}}$

(ao efetuar as contas, podemos reorganizar esses coeficientes, multiplicando os dois lados e todos os termos por 100)

• Respostas:

a) $f(x) = -2x^{2} -4x +6$

b) $f(x) = 0{,}04x^{2} -0{,}4x +2$

Espero ter ajudado. :)

• Aprenda mais em:

==> Equação do segundo grau em exercício de física:

https://brainly.com.br/tarefa/23102531

==> Equação do segundo grau:

https://brainly.com.br/tarefa/22230787