1- determine a equação reduzida da circunferência que tem r e centro c em caso:
a) r = 2 e C ( 3 , 3 )
b) r = 3 e C ( 1 , -1 )
c) r = 5 e C ( - 3 , 2 )
d) r = 3 e C ( -1 , 2 )
e) r = 3 e C ( 1 , 1 )
f) r = 5 e C ( 1/2 , 3/4 )
2- Calcular o raio (r) e o centro (C) da circunferência cuja equação é dada por:
a) ( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 25
b) ( x - 3 )² + ( y - 1 )² = 9
c) ( x - 1 )² + ( y - 2 )² = 9
d) ( x + 3 )² + ( y - 2 )² = 1
e) ( x - 2 )² + ( y - 2 )² = 25
f) ( x + 1 )² + ( y + 2 )² = 4
3- Construa a equação da circunferência com centro C ( a ,b ) e que passa pelo ponto P ( x , y ) em cada um dos casos:
a) C ( -1 , 4 ) e P ( 2 , 1 )
b) C ( -5, 2 ) e P ( 2 ,6 )
c) C ( 0 ,-1 ) e P ( 4 , 1 )
d) C ( 3 , 4 ) e P ( 2 , -2)
e) C ( 1 , -2 ) e P ( -5 , 1 )
f ) C ( -3, 2 ) e P ( -2 , 2)
Soluções para a tarefa
Lembrando que a forma da equação reduzida da circunferência é:
(x - a)² + (y-b)² = r²
Os dois pontos de C são valores de a e b respectivamente, só que troca o sinal quando forma a equação e é só elevar o raio ao quadrado e escrever depois da igualdade.
1) Determinando a equação reduzida da circunferência:
a) C(3,3) e r = 2
(x-3)² + (y-3)² = 2²
(x-3)² + (y-3)² = 4
b) C(1,-1) e r= 3
(x-1)² + (y+1)² = 3²
(x-1)² + (y+1)² = 9
c) C(-3,2) e r = 5
(x+3)² + (y-2)² = 5²
(x+3)² + (y-2)² = 25
d) C(-1,2) e r = 3
(x+1)² + (y-2)² = 3²
(x+1)² + (y-2)² = 9
e) C(1,1) e r = 3
(x-1)² + (y-1)² = 3²
(x-1)² + (y-1)² = 9
f) C(1/2,3/4) e r = 5
(x-1/2)² + (y-3/4)² = 5²
(x-1/2)² + (y-3/4)² = 25
Neste fazemos o contrário do primeiro exercício. Pegamos os valores de a e b com sinal invertido. Extraímos raiz quadrada do número depois da igualdade para raio.
2) Calculando o raio e o centro da circunferência:
a) (x+2)² + (y-2)² = 25
C (-2,2) e raio = 5
b) (x-3)² + (y-1)² = 9
C(3,1) e raio = 3
c) (x-1)² + (y-2)² = 9
C(1,2) raio = 3
d) (x+3)² + (y-2)² = 1
C(-3,2) raio = 1
e) (x-2)² + (y-2)² = 25
C(2,2) raio =5
f) (x+1)² + (y+2)² = 4
C (-1,-2) raio = 4
Nesta questão lembramos que o par ordenado P são valores de x e y respectivamente. E que a equação reduzida tem a forma:
(x-a)² + (y-b)² = r²
3) Dados o centro, construir a equação da circunferência que passa pelo ponto P(x,y).
a) C(-1,4) e P(2,1)
x = 2
y = 1
a = -1
b = 4
raio(r) = a soma dos quadrados
(x-a)² + (y-b)² = r
(2-(-1))² + (1-4)² = r
3² + (-3)² = r
9 + 9 = r
18 = r
A equação: (x+1)² + (y -4)² = 18
b) C(-5,2) e P(2,6)
x = 2
y = 6
a = -5
b = 2
raio(r) = a soma dos quadrados
(x-a)² + (y-b)² = r
(2-(-5))² + (6-2)² = r
(2+5)² + 4² = r
7² + 16 = r
49 + 16 = r
65 = r
r = 65
Equação: (x+5)² + (y-2)² = 65
c) C(0,-1) e P(4,1)
x = 4
y = 1
a = 0
b = -1
raio(r) = a soma dos quadrados
(4-0)² + (1-(-1)² = r
4² + (1+1)² = r
16 + 2² = r
r = 16 + 4
r = 20
(x-0)² + (y+1)² = 20
Equação: x² + (y+1) = 20
d) C(3,4) e P(2,-2)
x = 2
y = -2
a = 3
b = 4
r = (2-3)² + (-2-4)²
r = (-1)² + (-6)²
r = 1 + 36
r = 37 (a soma dos quadrados)
Equação: (x-3)² + (y-4)² = 37
e) C(1,-2) e P(-5,1)
x = -5
y = 1
a = 1
b= -2
r = (-5-1)² + (1 - (-2))²
r = (-6)² + (1+2)²
r = 36 + 3²
r = 36 + 9
r = 45 (a soma dos quadrados)
Equação: (x-1)² + (y+2)² = 45
f) C (-3,2) e P(-2,2)
x = -2
y = 2
a = -3
b = 2
r = (-2-(-3))² + (2-2)²
r = (-2+3)² + 0²
r = 1²
r = 1 ( a soma dos quadrados)
Equação: (x+3)² + (y-2)² = 1
Resposta:
Lembrando que a forma da equação reduzida da circunferência é:
(x - a)² + (y-b)² = r²
Os dois pontos de C são valores de a e b respectivamente, só que troca o sinal quando forma a equação e é só elevar o raio ao quadrado e escrever depois da igualdade.
1) Determinando a equação reduzida da circunferência:
a) C(3,3) e r = 2
(x-3)² + (y-3)² = 2²
(x-3)² + (y-3)² = 4
b) C(1,-1) e r= 3
(x-1)² + (y+1)² = 3²
(x-1)² + (y+1)² = 9
c) C(-3,2) e r = 5
(x+3)² + (y-2)² = 5²
(x+3)² + (y-2)² = 25
d) C(-1,2) e r = 3
(x+1)² + (y-2)² = 3²
(x+1)² + (y-2)² = 9
e) C(1,1) e r = 3
(x-1)² + (y-1)² = 3²
(x-1)² + (y-1)² = 9
f) C(1/2,3/4) e r = 5
(x-1/2)² + (y-3/4)² = 5²
(x-1/2)² + (y-3/4)² = 25
Neste fazemos o contrário do primeiro exercício. Pegamos os valores de a e b com sinal invertido. Extraímos raiz quadrada do número depois da igualdade para raio.
2) Calculando o raio e o centro da circunferência:
a) (x+2)² + (y-2)² = 25
C (-2,2) e raio = 5
b) (x-3)² + (y-1)² = 9
C(3,1) e raio = 3
c) (x-1)² + (y-2)² = 9
C(1,2) raio = 3
d) (x+3)² + (y-2)² = 1
C(-3,2) raio = 1
e) (x-2)² + (y-2)² = 25
C(2,2) raio =5
f) (x+1)² + (y+2)² = 4
C (-1,-2) raio = 4
Nesta questão lembramos que o par ordenado P são valores de x e y respectivamente. E que a equação reduzida tem a forma:
(x-a)² + (y-b)² = r²
3) Dados o centro, construir a equação da circunferência que passa pelo ponto P(x,y).
a) C(-1,4) e P(2,1)
x = 2
y = 1
a = -1
b = 4
raio(r) = a soma dos quadrados
(x-a)² + (y-b)² = r
(2-(-1))² + (1-4)² = r
3² + (-3)² = r
9 + 9 = r
18 = r
A equação: (x+1)² + (y -4)² = 18
b) C(-5,2) e P(2,6)
x = 2
y = 6
a = -5
b = 2
raio(r) = a soma dos quadrados
(x-a)² + (y-b)² = r
(2-(-5))² + (6-2)² = r
(2+5)² + 4² = r
7² + 16 = r
49 + 16 = r
65 = r
r = 65
Equação: (x+5)² + (y-2)² = 65
c) C(0,-1) e P(4,1)
x = 4
y = 1
a = 0
b = -1
raio(r) = a soma dos quadrados
(4-0)² + (1-(-1)² = r
4² + (1+1)² = r
16 + 2² = r
r = 16 + 4
r = 20
(x-0)² + (y+1)² = 20
Equação: x² + (y+1) = 20
d) C(3,4) e P(2,-2)
x = 2
y = -2
a = 3
b = 4
r = (2-3)² + (-2-4)²
r = (-1)² + (-6)²
r = 1 + 36
r = 37 (a soma dos quadrados)
Equação: (x-3)² + (y-4)² = 37
e) C(1,-2) e P(-5,1)
x = -5
y = 1
a = 1
b= -2
r = (-5-1)² + (1 - (-2))²
r = (-6)² + (1+2)²
r = 36 + 3²
r = 36 + 9
r = 45 (a soma dos quadrados)
Equação: (x-1)² + (y+2)² = 45
f) C (-3,2) e P(-2,2)
x = -2
y = 2
a = -3
b = 2
r = (-2-(-3))² + (2-2)²
r = (-2+3)² + 0²
r = 1²
r = 1 ( a soma dos quadrados)
Equação: (x+3)² + (y-2)² = 1