Question

1) Determine a equação da reta tangente em (1, f(1)) da função f(x) = x² - x

Answer 1

A equação da reta tangente no ponto (1, f(1)) é

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\\ \\\boxed{y = x-1}\end{gathered}$

Partindo da definição de derivada podemos escrever a equação da reta tangente num ponto qualquer da função, usaremos a definição que

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'(p) = \lim_{x \to p}\frac{f(x) - f(p)}{x - p}\end{gathered}$

Fazendo algumas manipulações algébricas (isole f(x)) chegamos que

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) \approx f(p) + f'(p)(x-p),\quad x \approx p\end{gathered}$

Veja que isso só é verdadeiro para uma vizinhança do ponto, essa função aproximada é uma reta que tangencia a função f no ponto p, portanto vamos apenas mudar a nomenclatura dessa função para não confundir com a função em si:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)}\end{gathered}$

Essa é a equação da reta que tangencia a função f no ponto x₀. Mais adiante verá que essa reta nada mais é do que o Polinômio de Taylor de ordem 1 da função f.

Portanto agora que temos a definição da reta tangente podemos apenas aplicar ela, então vamos calcular a derivada de f e substituir o ponto x₀ = 1

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^2 - x \Rightarrow f'(x) = 2x - 1\\ \\f(1) = 0\quad \quad f'(1) = 1\end{gathered}$

Substituindo na equação da reta

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = f(1) + f'(1)(x - 1)\\ \\\boxed{y = x-1}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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