Question

1. Determine a equação da reta tangente a elipse x²/4 + y²/9 = 1 no ponto (0,5;2,9).
Dica: Utilize derivação implícita para determinar o coeficiente angular da reta.​

Answer 1

Temos a seguinte equação de uma elipse:

$\frac{x {}^{2} }{4} + \frac{y {}^{2} }{9} = 1$

Para não ter que trabalhar com frações, vamos deixar essa equação na sua forma geral:

$\frac{x {}^{2} }{4} + \frac{y {}^{2} }{9} = 1 \\ \\ \frac{9x {}^{2} + 4y {}^{2} }{36} = 1 \\ \\ \boxed{ 9x {}^{2} + 4y {}^{2} = 36}$

Agora fica bem mais fácil derivar implicitamente essa equação. Lembre-se que vamos derivar y em relação a x, ou seja, dy/dx, lembre-se também que quando derivamos a função "y", devemos multiplicar pela derivada da mesma.

$9x {}^{2} + 4y {}^{2} = 36 \\ \\ 9.2x + 2.4.y. \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ 18x + 8y. \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ 8y. \frac{dy}{dx} = - 18x \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 18x}{8y} \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \frac{9x}{4y} }$

Essa é a derivada da equação elíptica, tendo feito isso, você deve lembrar que pela definição algébrica de derivada, ela possui a função de coeficiente angular, então podemos dizer que ela é a o "m" da representação de uma função:

$y = mx + n$

Então digamos que essa derivada que encontramos seja o "m", então:

$m = - \frac{9x}{4y}$

Agora é só substituir os valores do ponto que a questão nos forneceu P(0,5 ; 2,9) → x = 0,5 e y = 2,9, substituindo:

$m = - \frac{9.( 0,5) }{4.(2,9)} \\ \\ m = - \frac{4,5 }{11 ,6} \\ \\ \boxed{m \approx - 0,40}$

Substituindo o valor de "m" na representação da reta:

$y = - 0,40x + n$

Para encontrar o valor de "n", basta substituir os valores de x e y dados pelo ponto:

$2,9 = - 0,40.(0,5)+ n \\ 2,9 = - 0,2 + n \\ n =2 ,9 +0 ,2 \\ n = 3,1$

Então, temos que a equação da reta é dada por:

$\boxed{y = -0 ,40x + 3,1}$

Espero ter ajudado