Question

1 — Determine a distância entre o ponto e a reta , em cada caso. a) p(-1,3) e r; y -3×+6=0 . b) P(3,_2) e r ; 2×+y +6=0. c) P(-2,4) e r ; 3×-4y -5 =0

Answer 1

Resposta:

A distância entre o ponto e a reta, em cada caso, é: a) 12/√10; b) 2/√5; c) 27/5.

Completando a questão:

a) P = (-1,3) e r: y - 3x + 6 = 0

b) P = (3,-2) e r: 2x + y + 6 = 0

c) P = (-2,4) e r: 3x - 4y - 5 =0

Solução

Considere que temos um ponto P = (x₀,y₀) e uma reta r: ax + by + c = 0. A distância entre um ponto e uma reta pode ser calculada pela seguinte fórmula:

.

a) Se P = (-1,3), então x₀ = -1 e y₀ = 3. Além disso, se r: -3x + y + 6 = 0, então a = -3, b = 1 e c = 6.

Assim, obtemos:

|ax₀ + by₀ + c| = |(-3).(-1) + 1.3 + 6| = |12| = 12

e

√(a² + b²) = √((-3)² + 1²) = √10.

Portanto, a distância é d = 12/√10.

b) Se P = (3,-2), então x₀ = 3 e y₀ = -2. Além disso, se r: 2x + y + 6 = 0, então a = -2, b = 1 e c = 6.

Assim, obtemos:

|ax₀ + by₀ + c| = |(-2).3 + 1.(-2) + 6| = |-2| = 2

e

√(a² + b²) = √((-2)² + 1²) = √5.

Portanto, a distância é d = 2/√5.

c) Se P = (-2,4), então x₀ = -2 e y₀ = 4. Além disso, se r: 3x - 4y - 5 = 0, então a = 3, b = -4 e c = -5.

Assim, obtemos:

|ax₀ + by₀ + c| = |3.(-2) + (-4).4 + (-5)| = |-27| = 27

e

√(a² + b²) = √(3² + (-4)²) = 5.

Portanto, a distância é d = 27/5

Answer 2

A distância entre o ponto e a reta, em cada caso, é: a) 12/√10; b) 10/√13; c) 27/√20.

Considere que temos um ponto P = (x₀,y₀) e uma reta r: ax + by + c = 0. A distância entre um ponto e uma reta pode ser calculada pela seguinte fórmula:

• $d=\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

a) Sendo P = (-1,3) e r: -3x + y + 6 = 0, então:

a = -3

b = 1

c = 6

x₀ = -1

y₀ = 3.

Substituindo esses valores na fórmula da distância, concluímos que:

$d=\frac{|(-3).(-1) + 1.3 + 6|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}=\frac{12}{\sqrt{10}}$.

b) Sendo P = (3,-2) e r: 2x + y + 6 = 0, então:

a = 2

b = 1

c = 6

x₀ = 3

y₀ = -2.

Logo, a distância pedida é igual a:

$d=\frac{|2.3 + 1.(-2) + 6|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}=\frac{10}{\sqrt{13}}$.

c) Sendo P = (-2,4) e r: 3x - 4y - 5 = 0, então:

a = 3

b = -4

c = -5

x₀ = -2

y₀ = 4.

Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a:

$d=\frac{|3.(-2) + (-4).4 - 5|}{\sqrt{(-2)^2+4^2}}=\frac{27}{\sqrt{20}}$.