Question

1) Determinar os focos, o comprimento de cada eixo e a excentricidade da elipse de equação 100x² + 225y² = 900.
2) Dada a elipse de centro C ( 3, -4 ), um dos focos com coordenadas ( 3 , 0 ) e um dos vértices é o ponto ( 3 , 4 ). Determine sua equação.
3) Determine a equação reduzida da hipérbole sabendo que a distância entre os focos é 12 e a distância entre seus vértices é 4 com centro no ponto ( -3 , 2 ).
4) Se uma hipérbole tem centro em ( 2 , -4 ) e a distância entre seus focos é 18 e entre seus vértices 10, determine sua equação reduzida. ( F1 e F2 // eixo y ).

Answer 1

Da elipse 100x² + 225y² = 900 temos que os focos são F' = (√5,0) e F'' = (-√5,0), o comprimento dos eixos são 4 e 6 e a excentricidade é √5/3; A equação da elipse é $\frac{(x-3)^2}{48}+\frac{(y+4)^2}{64}=1$; A equação reduzida da hipérbole é $\frac{(x+3)^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{32}=1$; A equação reduzida da hipérbole é $-\frac{(x - 2)^2}{56}+\frac{(y+4)^2}{25}=1$.

Questão 1)

Observe que a equação 100x² + 225y² = 900 pode ser escrita como $\frac{x^2}{9}+\frac{y}{4}=1$. Sendo assim, temos uma elipse com centro na origem do plano cartesiano.

Além disso, temos que a = 3 e b = 2. Para calcularmos o valor de c, utilizaremos o Teorema de Pitágoras a² = b² + c²:

3² = 2² + c²

9 = 4 + c²

c² = 5

c = √5.

Portanto, a excentricidade é igual a e = √5/3.

O eixo maior da elipse é igual a 2a, ou seja, 2.3 = 6.

O eixo menor da elipse é igual a 2b, ou seja, 2.2 = 4.

Por fim, temos que os focos são F' = (√5,0) e F'' = (-√5,0).

Questão 2)

Note que o centro e o foco estão sobre a reta x = 3. Então, a equação da elipse é da forma $\frac{(x-x_0)^2}{b^2}+\frac{(y-y_0)^2}{a^2}=1$, ou seja, ela está "em pé".

Como C = (3,-4), então $\frac{(x-3)^2}{b^2}+\frac{(y+4)^2}{a^2}=1$.

Os vértices da elipse são iguais a V' = (x₀, a + y₀) e V'' = (x₀, -a + y₀). Como um dos vértices é (3,4), então:

a - 4 = 4

a = 8.

Os focos da elipse são iguais a F' = (x₀, c + y₀) e F'' = (x₀, -c + y₀). Como um dos focos é (3,0), então:

c - 4 = 0

c = 4.

Consequentemente, o valor de b é:

8² = b² + 4²

64 = b² + 16

b² = 48

b = 4√3.

Portanto, a equação da elipse é $\frac{(x-3)^2}{48}+\frac{(y+4)^2}{64}=1$.

Questão 3)

A distância entre os focos da hipérbole é igual a 2c. Então:

2c = 12

c = 6.

A distância entre os vértices é igual a 2a. Então:

2a = 4

a = 2.

Para encontramos o valor de b, utilizaremos o Teorema de Pitágoras c² = a² + b²:

6² = 2² + b²

36 = 4 + b²

b² = 32

b = 4√2.

O centro da hipérbole é (-3,2). Logo, a sua equação é: $\frac{(x+3)^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{32}=1$.

Questão 4)

A distância entre os focos de uma hipérbole é igual a 2c, ou seja:

2c = 18

c = 9.

A distância entre os vértices de uma hipérbole é igual a 2a, ou seja:

2a = 10

a = 5.

Logo, o valor de b é igual a:

9² = 5² + b²

81 = 25 + b²

b² = 56

b = 2√14.

Temos a informação de que os focos são paralelos ao eixo y. Isso significa que a equação da hipérbole é da forma $-\frac{(x-x_0)^2}{b^2}+\frac{(y-y_0)^2}{a^2}=1$.

Portanto, a equação reduzida é: $-\frac{(x - 2)^2}{56}+\frac{(y+4)^2}{25}=1$.