Question

1- Determinar o vértice das seguintes funções quadráticas.

a) f(x) = x2 - 2x +2

b) f(x) = -x2 + 6x + 9

c) f(x) = -x2 +4x +1

d) f(x) = x2 -2x +1


2) Suponha que o lucro (em reais) de uma microempresa seja dado em função do preço

(p) de venda do seu principal produto, pela lei: L(p) = -50(p2-24p+80). Nestas

condições determine o lucro máximo possível desta microempresa.


3)Uma bala de canhão é atirada por um tanque de guerra e descreve uma trajetória em

forma de parábola de equação f(x) = −

1

20

x2 + 2x (sendo x e y medidos em metros).


Determine qual é a altura máximas atingida pela bala.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

a) $\sf f(x)=x^2-2x+2$

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}$

$\sf x_V=\dfrac{2}{2}$

$\sf \red{x_V=1}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot2$

$\sf \Delta=4-8$

$\sf \Delta=-4$

$\sf y_V=\dfrac{-(-4)}{4\cdot1}$

$\sf y_V=\dfrac{4}{1}$

$\sf \red{y_V=1}$

O vértice é $\sf V(1,1)$

b) $\sf f(x)=-x^2+6x+9$

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}$

$\sf x_V=\dfrac{-6}{-2}$

$\sf \red{x_V=3}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=6^2-4\cdot(-1)\cdot9$

$\sf \Delta=36+36$

$\sf \Delta=72$

$\sf y_V=\dfrac{-72}{4\cdot(-1)}$

$\sf y_V=\dfrac{-72}{-4}$

$\sf \red{y_V=18}$

O vértice é $\sf V(3,18)$

c) $\sf f(x)=-x^2+4x+1$

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-4}{2\cdot(-1)}$

$\sf x_V=\dfrac{-4}{-2}$

$\sf \red{x_V=2}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot1$

$\sf \Delta=16+4$

$\sf \Delta=20$

$\sf y_V=\dfrac{-20}{4\cdot(-1)}$

$\sf y_V=\dfrac{-20}{-4}$

$\sf \red{y_V=5}$

O vértice é $\sf V(2,5)$

d) $\sf f(x)=x^2-2x+1$

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}$

$\sf x_V=\dfrac{2}{2}$

$\sf \red{x_V=1}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot1$

$\sf \Delta=4-4$

$\sf \Delta=0$

$\sf y_V=\dfrac{-0}{4\cdot1}$

$\sf y_V=\dfrac{0}{4}$

$\sf \red{y_V=0}$

O vértice é $\sf V(1,0)$

2)

$\sf L(p)=-50\cdot(p^2-24p+80)$

$\sf L(p)=-50p^2+1200p-4000$

O lucro máximo é dado por:

$\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=1200^2-4\cdot(-50)\cdot(-4000)$

$\sf \Delta=1440000-8000$

$\sf \Delta=640000$

$\sf y_V=\dfrac{-640000}{4\cdot(-50)}$

$\sf y_V=\dfrac{-640000}{-200}$

$\sf \red{y_V=3200}$

3)

$\sf y=-\dfrac{1}{20}x^2+2x$

A altura máxima é dada por:

$\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=2^2-4\cdot\Big(-\dfrac{1}{20}\Big)\cdot0$

$\sf \Delta=4+0$

$\sf \Delta=4$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{4\cdot\Big(-\frac{1}{20}\Big)}$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{-\frac{4}{20}}$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{1}\cdot\Big(-\dfrac{20}{4}\Big)$

$\sf y_V=\dfrac{80}{4}$

$\sf \red{y_V=20~metros}$