Question

1- Desenvolvendo-se o binômio abaixo, qual será soma dos seus coeficientes ? (4x+2)⁵ Preciso do passo a passo da conta, por favor.

Answer 1

A questão pergunta o desenvolvimento do binômio (4x+2)⁵ e a soma dos seus coeficientes. Para isso usarei o método de encontrar o desenvolvimento de um binômio através do Triângulo de Pascal.

• O método do Triângulo, nos diz que devemos escrevê-lo até a linha correspondente ao expoente do binômio, no nosso caso será até a quinta linha, pois o expoente é 5.

$\sf 0 \rightarrow1 \\ \sf 1\rightarrow1 \: \: 1 \\ \sf2\rightarrow1 \: \: 2 \: \: 1 \\ \sf3\rightarrow1 \: \: 3 \: \: 3 \: \: 1 \\ \sf 4\rightarrow1 \: \: 4 \: \: 6 \: \: 4 \: \: 1 \\ \sf 5\rightarrow1 \: \: 5 \: \: 10 \: \: 10 \: \: 5 \: \: 1$

• Após esse processo você deve escrever os números correspondentes a quinta linha à frente do binômio.

$\sf (4x + 2) {}^{5} = 1 \: \: 5 \: \: 10 \: \: 10 \: \: 5 \: \: 1$

Agora vem a parte interessante desse método.

• O primeiro número do binômio (4x) você deve escrevê-lo rente ao primeiro número e com o expoente do binômio, após isso escreva (4x) para o número seguinte sempre diminuindo "1" do expoente, até atingir expoente "0".

$\sf a {}^{n} + a {}^{n - 1} + a {}^{n - 2} .... + a {}^{0}$

• Para o segundo número do binômio, você faz o contrário do que fez com o primeiro, pois o segundo inicia com expoente "0" e cresce até o expoente do binômio.

$\sf a {}^{0} + a {}^{n + 1} + a {}^{n + 2} ..... + a {}^{n}$

Aplicando esses processos:

$\sf (4x + 2) {}^{5} = 1.(4x) {}^{5} .(2) {}^{0} +5. (4x) {}^{4} .(2) {}^{1} +10. (4x) {}^{3} .(2) {}^{2} + 10.(4x) {}^{2} .(2) {}^{3} + 5.(4x) {}^{1} .(2) {}^{4} + 1.(4x) {}^{0} .2 {}^{5} \\ \sf (4x + 2) {}^{5 } = 1024x {}^{5} .1 + 5.256x {}^{4} .2 + 10.64x {}^{3} .4 + 10.16x {}^{2} .8 + 5.4x.16 + 1.1.32 \\ \boxed{ \sf (4x + 2) {}^{5} = 1024 {x}^{4} + 2560x {}^{4} + 2560x {}^{3} + 1280x {}^{2} + 320x + 32}$

• A soma dos coeficientes é encontrada através da soma de todos os números que se encontram à frente das letras, com exceção do termo independente.

$\boxed{ \sf 1024 + 2560 + 2560+ 1280 + 320+ 32 = 7776}$

Espero ter ajudado