Question

1. Demonstre as identidades
a) TgΘ × senΘ + cosΘ = sec θ
2. Encontre todos os valores de x tais que sen 2x = sen x , onde x está entre 0 e 2pi​

Answer 1

Resposta:

1. No caso de uma demonstração, todo o raciocínio é a resposta.

2. S = {0, π/3, π, 5π/3, 2π}.

Explicação passo-a-passo:

1. tgΘ × senΘ + cosΘ = secΘ

Por meio das relações trigonométricas temos que:

a) tgΘ = sen²Θ

              cosΘ

b) secΘ =   1  

               cosΘ

substituindo na equação, temos:

senΘ × senΘ + cosΘ =   1  

cosΘ                              cosΘ

multiplicando temos que:

sen²Θ + cos Θ =   1  

cosΘ          1       cosΘ

o mmc de cosΘ e 1 é o próprio cosΘ:

(sen²Θ + cos²Θ) =   1  

        cosΘ            cosΘ

podemos substituir sen²Θ + cos²Θ = 1 segundo a relação fundamental trigonométrica:

Resposta:    1   =    1  

                cosΘ  cosΘ

2. sen(2x) = sen(x)

pela identidade trigonométrica podemos dizer que:

sen(2x) = 2 × sen(x) × cos(x)

Logo podemos substituir:

2 × sen(x) × cos(x) = sen(x)

o próximo passo é igualar a zero:

2 × sen(x) × cos(x) - sen(x) = 0

podemos colocar sen(x) em evidência:

sen(x) × (2×cos(x) - 1) = 0

podemos dividir em duas equações:

sen(x) = 0

2cos(x) - 1 = 0

2cos(x) = 1

cos(x) = 1/2

para a resposta precisamos analisar quando o sen(x) pode ser igual a zero e quando o cos(x) pode ser igual a 1/2

sen(x) = 0 quando x = 0, π ou 2π

cos(x) = 0 quando x = π/3 ou 5π/3

Resposta: S = {0, π/3, π, 5π/3, 2π}

Obs: Como o exercício diz que 0 ≤ x ≤ 2π, não é preciso se preocupar com as voltas que se pode dar na circunferência e manter o mesmo ângulo.