Question

1 - Dar o domínio e o conjunto imagem das
funções:
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Answer 1

Dada uma função f definida nos reais, O domínio de f é o conjunto de valores para x tal que f(x) existe. A imagem da função é o conjunto dos valores de f(x) para todo x no domínio. Assim, f pode ser definido como

$f:D_f\longrightarrow I_f$

Para descobrirmos o domínio analisamos a regra de f e tentamos achar os pontos de indeterminação, O domínio de f é dado pelo conjunto dos reais retirando os elementos do conjunto onde há indeterminação. Quando queremos encontrar a imagem, supomos que f é inversivel e obtemos sua inversa. A imagem de f é igual ao domínio da(s) inversa(s) de f (se f não é injetiva existem mais de uma função inversa).

$\mathrm{a}) \hspace{0.2cm} f(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$

A função f admite solução para qualquer x real exceto o número 1, uma vez que f(1) gera uma indeterminação -2/0. Assim,

$D_f=\mathbb{R}-\{1\}$

Se y é a função inversa de f, então

$x=\dfrac{-2}{(y-1)^2} \iff (y-1)^2=\dfrac{-2}{x}$

Perceba que somente por aí podemos obter um resultado importante, o lado esquerdo é sempre positivo, deste modo, x < 0. Ou seja, a imagem de f é

$I_f=\mathbb{R}^*_{-}$

Conjunto de reais negativos, retirando o zero.

[/tex]\mathrm{b})\hspace{0.2cm} y=\dfrac{x-1}{x+4}[/tex]

A função possui indeterminação somente quando divide por zero, ou seja, quando x = -4, assim, o domínio de y é dado por

$D_y=\mathbb{R}-\{-4\}$

Supondo inversa, teremos que

$x=\dfrac{y^{-1}-1}{y^{-1}+4}\iff x\,(y^{-1}+4)=y^{-1}-1$

$y^{-1}(x-1)=-(4x+1)$

$y^{-1}=-\dfrac{4x+1}{x-1}$

O domínio da inversa se dá igual aos reais, exceto o número 1, assim, a imagem de f é

$I_y=\mathbb{R}-\{1\}$

$\mathrm{c})\hspace{0.2cm} \log_x(x+1)$

O logaritmo está definido para qualquer base se o logaritmando é maior que zero, assim x-1 > 0, ao mesmo tempo que a base do logaritmo só está definida se for maior que zero e diferente de 1, assim temos que

$D_f=\mathbb{R}-(\{x>1\}\cap\{x>0\}\cap\{x\neq 1\})$

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x>1\}$

A inversa se dá por

$x=\log_y(y-1) \iff y^x=y-1 \iff y^{x-1}=1-\dfrac{1}{y}$

Como y é maior que 1 (y no domínio),

$y^{x-1}<1=y^0$

Deste modo, x-1 < 0, e portanto a imagem é

$I_f=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x<1\}$

$\mathbb{d})\hspace{0.2cm} f(x)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Essa função é bem mais conhecida que as demais, a função seno puramente tem domínio todos os reais, como a função é uma translação da função, o domínio ainda é os reais

$D_f=\mathbb{R}$

A imagem da função seno é o intervalo de -1 a 1, como o seno é tal que

$-1\leq \sin(x)\leq 1$

Multiplicar produz o efeito

$-2\leq 2\sin(x) \leq 2$

$I_f = [-2, \, 2]$

$\mathrm{e})\hspace{0.2cm} f(x)=\sqrt{x^2-4}$

A raiz está definida somente para valores positivos, deste modo, o domínio de f será para

$x^2-4>0$

$(x+2)(x-2)>0$

Ocorre quando

$x+2>0 \hspace{0.3cm} e \hspace{0.3cm} x-2>0$

$x>-2 \hspace{0.3cm} e \hspace{0.3cm} x>2$

$x>2$

ou

$x+2<0 \hspace{0.3cm} e \hspace{0.3cm} x-2<0$

$x<-2 \hspace{0.3cm} e \hspace{0.3cm} x<2$

$x<-2$

Assim, o domínio se dá por

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x<-2 \hspace{0.2cm} ou \hspace{0.2cm} x>2\}$

Para a imagem obteremos a inversa,

$x=\sqrt{y^2-4}\iff x^2=y^2-4$

Perceba que como y² - 4 é sempre positivo, não há restrições para x. Como f não é injetora, existem 2 inversas, uma para x positivo e outra pra y negativo. Deste modo, como f é positiva,

$I_f=\mathbb{R}^*_{+}$

$\mathrm{f}) \hspace{0.2cm} f(x)=\sqrt[3]{x+8}$

A raíz cúbica não possui problemas nos reais, deste modo,

$D_f=\mathbb{R}$

A inversa se dá por

$x=\sqrt[3]{y+8} \iff x^3=y+8\iff y=x^3-8$

Trata-se de um polinômio, que tem como domínio todos os reais, assim a imagem de f é

$I_f=\mathbb{R}$