Question

1) Dados os vetores a, b, c e representados ao lado, determine a direção e o sentido do vetor resultante ao efetuarmos as somas (Anexo)


2) Dados os vetores a, b, c e representados ao lado, determine o módulo do vetor resultante ao efetuarmos as somas (Anexo)


3) Dados os vetores a, b, c, d e representados ao lado, determine a direção, o sentido e o módulo do vetor resultante ao efetuarmos as somas (Anexo)


4) Uma pequena formiga anda sobre uma régua, partindo da posição A e se movimentando até B. Em seguida retorna até a posição C, como indicado na figura abaixo (Anexo) - Calcule a distância total percorrida e o deslocamento da formiga.


5) Uma locomotiva de 30 m de comprimento move-se com uma velocidade de 72 km/h, em uma linha férrea paralela à de um trem de passageiros, que possui 220 m de comprimento e move-se com velocidade de 10 m/s. Ambos os trens movem-se no mesmo sentido. Calcule

a) o intervalo de tempo na ultrapassagem, isto é, quanto tempo o trem mais veloz gasta para passar totalmente o trem mais lento

b) a distância percorrida por cada trem


6) Dois ciclistas, João e Pedro, fazem um percurso retilíneo em uma pista de corrida, João com velocidade de 36 km/h e Pedro 54 km/h. Se João gasta 2 min a mais que Pedro, qual o comprimento da pista?

Answer 1

Explicação:

Vamos lá!

Para fazer questões sobre vetores, temos que entender algumas coisas antes:

1. Um vetor é igual ao outro quando tem a mesa direção, sentido e módulo.

2. Para somar 2 vetores, ou ele deve estar na mesma direção ou você deve usar as regras do paralelogramo ou poligonal.

3. A decomposição vetorial é essencial para fazer somas de direções diferentes também.

Agora sim!

1. Vamos fazer soma de vetores:

a. a e b estão em direções diferentes, então faremos a soma por meio da regra da poligonal: junte a bundinha do vetor B na cabecinha do vetor A, e "feche" ele em um triangulo retângulo, com um vetor resultante ligando A e B na parte aberta. Nesse caso, a seta do vetor se encaixa da direita pra esquerda, a bundinha na cabecinha do vetor B e a cabecinha na bundinha do vetor A.

Se os vetores tivessem módulo, você usaria o teorema de Pitágoras para calculá-lo. Como não tem, sabemos que o vetor resultante vale  2 quadradinhos, e está na horizontal, da direita pra esquerda.

b. Nesse caso, a e c estão em direções opostas, porém não estão perpendiculares entre si. Precisaremos decompor A em vetores Ax e Ay, os vetores que originaram A, e aí sim aplicar a regra da poligonal. Para essa questão, vou anexar a foto da resposta.

c. Nesse caso, B e C estão perpendiculares, então aplicaremos a regra da poligonal: Junte B e C, bundinha com bundinha, e "feche" com traços nas partes abertas, formando um polígono. Na diagonal desse polígono, partindo da origem de B e C, sairá o vetor resultante. Sentido para baixo, direção diagonal esquerda.

d. Para somar mais de 2 vetores, faça a soma em etapas, primeiro some A e B, e nesse resultado, some C. Sabemos que a soma de A e B dá um vetor na horizontal para a esquerda, e que vale 2 quadrados. C está na horizontal para a direita e vale 2 quadrados. Mesma direção e sentidos opostos, por terem o mesmo módulo, a resultante dará nula.

2. Soma de vetores novamente:

Vamos considerar A como 3, B como 2  e C como 2, de acordo com o número de quadradinhos.

a. Mesma direção e sentido, soma. A + B = 5 quadradinhos na horizontal pra a direita.

b. Mesma direção, sentidos opostos, subtrai. A + C = 3 - 2 = 1 quadradinho para a esquerda, na horizontal.

c. Mesma direção e sentidos opostos, subtrai. B + C = 2 - 2 = 0. Vetor nulo.

d. Some A e B e daí subtraia C. Sabemos que A e B resulta num vetor de módulo 5 quadradinhos para a esquerda, tirando 2 para direita, sobram 3 quadrados para esquerda. O vetor resultante é igual ao vetor A.

3. Defina os módulos como: A = 3 , C = B = 2, D = 1.

Vamos separar em 3 grupos:

Mesma direção:

a. 3 - 2 = 1. Módulo 1 , sentido para direita, direção horizontal.

b. 2 - 1 = 1. Módulo 1 , sentido para cima, direção vertical.

Direções diferentes:

Essas eu anexei.

Vou adicionar aqui apenas o módulo:

c. √13

d. √10

e. 2√2

f. √5

Mais de um vetor:

vou anexar os desenhos e colocar os módulos aqui:

g. √5

h. √5

i. √10

j. √2

k. √2

4.

Distância: o quanto andou no total

Deslocamento: o quanto se afastou da posição de origem

Para achar a distância, some tudo que a formiga andou:

A até B, B até C

2 a 9, 9 a 5

9 - 2 + 9 - 5

7 + 4 = 11

d = 11

Para achar o deslocamento, ache a posição inicial e final e calcule o módulo em linha reta entre elas:

inicial: 2 final: 5

5 - 2 = 3

D = 3

5. Primeiro, passe a velocidade da locomotiva de km/h para m/s:

72 km/h : 3,6 = 20m/s

a. Para a locomotiva ultrapassar o trem, ela precisa andar todo o comprimento do trem e mais o seu comprimento, para estar 100% a frente do trem. Como eles estão paralelos, ela já está ultrapassando o trem.

Tempo para a locomotiva andar 220 + 30m =

V = d / t

Usaremos a velocidade relativa, entre o trem e a locomotiva. Por estarem no mesmo sentido, subtrairemos as velocidades:

VL - Vt = 20 - 10 = 10m/s

Substitua os valores:

10 = 250 / t

10t = 250

t = 25s

b. São 25s de ultrapassagem, o trem mas lento percorre exatamente 250m, e o trem mais rápido percorre o que ele andou e mais um pouco para ultrapasssar, logo 500m.

6. Primeiro, apsse as unidades para o Si:

velocidades: m/s

tempo: s

distância: m

V João: 36 / 3,6 = 10m/s

V Pedro: 54 / 3,6 = 15m/s

Agora, o tempo: 2 minutos = 2 . 60 = 120 segundos

Usaremos a fórmula V = d / t

Pedro: 15 = d / t

João: 10 = d / t + 120

Temos um sistema, em que:

d = 15t

d = 10 ( t + 120)

Substitua d na segunda equação pelo valor da primeira:

15t = 10t + 1200

isole t:

15t - 10t = 1200

5t = 1200

t = 240s

Agora, substitua o valor de t na primeira equação:

d = 15t

d = 15 . 240

d = 3600m ou 3,6km

Obs.: Anexei o desenho da respostas das 3 primeiras questões, para ficar bem entendido.

Espero ter ajudado!

Qualquer dúvida, pode me mandar :)

Answer 2

Vamos aplicar os conceitos de vetores e velocidade média para resolvermos as questões:

1) A soma de vetores se dá tanto graficamente quanto numericamente. No nosso caso, vamos trabalhar apenas na soma gráfica.

Quando somamos vetores basta colocarmos o segundo vetor da soma começando no final do primeiro vetor, de tal maneira que o vetor resultante começará no primeiro vetor e terminará no segundo.

a) O vetor soma a + b está representado na primeira figura anexada em vermelho. Ele possui direção horizontal e sentido apontando para a direita.

b) Já o vetor soma a + c está na cor verde. Ele possui direção inclinada e sentido também inclinado, conforme o anexo.

c) O vetor soma b + c está em roxo. E o sentido e direção desse vetor também serão inclinados conforme a figura anexada.

d) Por fim, o vetor soma a + b + c está em laranja na figura. Ele possui direção horizontal e sentido apontando para a direita.

2) O módulo de um vetor pode ser obtido de uma maneira prática apenas olhando para a figura da questão. Na malha quadriculada contamos quantos quadrados cada um está ocupando, o resultado é o seu módulo:

• Módulo do vetor a = a = 3 quadrados = 3;
• Módulo do vetor b = b = 2 quadrados = 2;
• Módulo do vetor c = c = 2 quadrados = 2.

Agora devemos analisar o sentido de cada um deles, já que todos estão na mesma direção (horizontal). Se adotarmos o sentido "apontando para a direita" como o positivo (+):

• Vetor a = aponta para a direita = +;
• Vetor b = aponta para a direita = +;
• Vetor c = aponta para a esquerda = -.

Deste modo podemos resolver as alternativas propostas:

a) a + b = +3 +2 = 5.

b) a + c = +3 -2 = 1.

c) b + c = +2 -2 = 0.

d) a + b + c = +3 +2 -2 = 3.

3) Pela soma de vetores:

a) O vetor soma a + c está representado em azul escuro, na 2º figura anexada. Com módulo 1, direção horizontal e sentido apontando para a direita.

b) Já o vetor soma b + d está em laranja. Ele tem módulo 1, direção vertical e sentido apontando para cima.

c) O vetor soma a + b está em roxo. Seu módulo será calculado pelo Teorema de Pitágoras:

(a + b)² = a² + b² = 3² + 2² = 13

a + b  ≅ 3,61

Seu sentido e direção são inclinados.

d) O vetor soma a + d está em verde claro. O módulo aplicando Pitágoras vale 3,16. A direção e sentidos são inclinados.

e) O vetor soma b + c está em vermelho. Seu módulo vale 2,83, com direção e sentidos inclinados.

f) O vetor soma c + d está em verde escuro. Seu módulo, por Pitágoras, vale 2,24, com direção e sentidos inclinados.

g) O vetor soma a + b + c está em rosa. Seu módulo vale 2,24, com sentido e direção inclinados.

h) O vetor soma b + c + d está em dourado. Seu módulo vale 2,24, com sentido e direção inclinados.

i) O vetor soma a + b + d está em azul claro, com módulo 3,16, direção e sentido inclinados.

j) O vetor soma a + c + d está em lilás. Com módulo de 1,41, direção e sentido inclinados.

k) Por fim, o vetor soma a + b + c + d está em preto. Com módulo de 1,41, direção e sentido inclinados.

4) A distância percorrida depende da trajetória adotada pela formiga, logo vamos somar a distância de cada um dos trechos:

• 1º trajeto: A até B = 9 - 2 = 7;
• 2º trajeto: B até C = 9 - 5 = 4.

A distância percorrida pela formiga foi 7 + 4 = 11.

Já o deslocamento depende exclusivamente do ponto inicial e do ponto final da formiga. Se ela começou em A e terminou em C, então seu deslocamento foi C - A = 5 - 2 = 3.

5) Transformaremos a velocidade da locomotiva em m/s. Aplicando uma regra de três simples:

1 m/s --------- 3,6 km/h

x (m/s) ------- 72 km/h

x = 72/3,6 = 20 m/s

a) Considerando que a locomotiva estava imediatamente antes de iniciar sua ultrapassagem, temos uma velocidade relativa da locomotiva em relação ao trem de:

$v_r = v_{locomotiva} - v_{trem} = 20m/s - 10m/s = 10 m/s$

Ela terá que percorrer o comprimento dos dois corpos para completar a ultrapassagem, ou seja, 220 + 30 = 250 metros.

O tempo gasto, pela fórmula da velocidade média:

$v_r = \Delta S/\Delta t\\\\10 = 250/\Delta t\\\\\Delta t = 250/10 = \textbf{25 s}$

b) Agora devemos aplicar a velocidade média para cada um dos corpos com o tempo calculado anteriormente. Na locomotiva:

$v_{locomotiva} = \Delta S_L/\Delta t\\\\20 = \Delta S_L/25\\\\\Delta S_L = 20*25 = \textbf{500 m}$

E no trem de passageiros:

$v_{trem} = \Delta S_t/\Delta t\\\\10 = \Delta S_t/25\\\\\Delta S_t = 10*25 = \textbf{250m}$

6) Vamos aplicar uma regra de três simples para transformarmos as velocidades em m/s. Para João:

1 m/s --------- 3,6 km/h

x (m/s) ------- 36 km/h

x = 36/3,6 = 10 m/s

E Pedro:

1 m/s --------- 3,6 km/h

y (m/s) ------- 54 km/h

y = 54/3,6 = 15 m/s

Se o tempo total gasto por João é T e por Pedro t, então:

T = t + 2min

T = t + 2*60s

T = t + 120 segundos

Pela fórmula da velocidade média, para Pedro:

y = C/t

15 = C/t

t = C/15

, onde C é o comprimento da pista.

E, para João:

x = C/T

10 = C/(t + 120)

C = 10*(t + 120)

Substituindo o valor de t que deduzimos:

C = 10*(C/15 + 120) = 10C/15 + 1200

(15C - 10C)/15 = 1200

C = 15*1200/5 = 3600m

Você pode aprender mais sobre Vetores aqui: https://brainly.com.br/tarefa/4588929