Question

1) Dados os números complexos z1 = (x, 3) e z2 = (2 – y, y), determine os números reais de x e y de modo que z2 - z1 = (5, -4). 2) Calcule: a) i54 b) i 200 c) i 13335 d) i 12784 3) Efetue: a) i 25 . i18 b) (-2i)-11 c) i 79 i 32 0 2 d) [ (i2 ) 2 ] 3 e) i -98 i -34 f) i 132 + i61 i 42 4) Se i é a unidade imaginária, determine em cada caso o valor de A: a) A = i + i2 + i3 + ..... + i49 + i50 b) A = i . i2 . i3 . ..... . i19 . i20

Answer 1

$\mathsf{Z_{2}-Z_{1}=(2-y, y)-(x,3)}\\\mathsf{Z_{2}-Z_{1}=(2-y-x, y-3)}$

$\mathsf{Z_{2}-Z_{1}=(5,-4)\implies(2-y-x,y-3)=(5,-4)}$

$\begin{cases}\mathsf{2-y-x=5}\\\mathsf{y-3=5}\end{cases}$

$\mathsf{y-3=5}\\\mathsf{y=3+5}\\\mathsf{y=8}$

$\mathsf{2-x-y=5}\\\mathsf{2-x-8=5}\\\mathsf{-x-6=5}\\\mathsf{-x=6+5}\\\mathsf{-x=11\times(-1)}$

$\mathsf{x=-11}$

$\dotfill$

2)

a)

$\mathsf{i^{54}=i^2=-1}$

b)

$\mathsf{i^{200}=i^50=i^2=-1}$

c)

$\mathsf{i^{13335}=i^3=-i}$

d)

$\mathsf{i^{12784}=i^0=1}$

$\dotfill$

3)

a)

$\mathsf{i^{25}.i^{18}=i^{43}=i^3=-i}$

b)

$\mathsf{(-2i)^{-11}=\dfrac{1}{(-2i)^{11}}=\dfrac{1}{-2048.(-i)}=\dfrac{1}{2048i}}\\\mathsf{\dfrac{1}{2048i}.\dfrac{i}{i}=-\dfrac{i}{2048}}$

c)

$\mathsf{i^{79}.i^{3202}=i^{3281}=i^1=i}$

d)

$\mathsf{[(i^2)^2]^3=i^{12}=i^0=1}$

e)

$\mathsf{i^{-98}.i^{-34}=i^{-132}=(i^{132})^{-1}=</p><p>=(i^0)^{-1}=1^{-1}=1}$

f)

$\mathsf{i^{132}+i^{61}=i^0+i^1=1+i}$

g)

$\dotfill$

4)

a)

$\mathsf{(i+i^2+i^3+...i^{49}+i^{50}}$

Soma dos termos de uma PG infinita:

$\mathsf{a_{1}=i~~~q=i^2\div~i=i}$

$\mathsf{S_{n}=\dfrac{i}{1-i}}\\\mathsf{S_{n}=\dfrac{i}{(1-i)}\dfrac{(1+i)}{(1+i)}=\dfrac{i-i^2}{1-i^2}}\\\mathsf{S_{n}=\dfrac{i-(-1)}{1-(-1)}}\\\mathsf{\dfrac{i+1}{2}}$

Portanto

$\mathsf{i+i^2+i^3+... +i^{49}+i^{50}=\dfrac{i+1}{2}}$