1-dados os conjuntos a={1,2,3} e b={2,3,4,5,6} e a relação r={xy} e ax,b/ y=x+3} pode-se?
A) Determinar a relação em pares ordenados
B) Construir o diagrama de flechas
C) verificar se essa relação é uma função de a em b
Soluções para a tarefa
Observe os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} Formando o conjunto de todos os pares (x;y) ½ x Î A e y Î B, temos: {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4)}. A esse conjunto chamamos de produto cartesiano de A por B e indica-se A × B. Não esqueça que (2;3) ¹ (3;2).
Representando A × B no plano cartesiano.
A x BDados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B, e indica-se A × B, ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x;y) ½ x Î A e y Î B: A × B = {(x;y) x ÎA e y Î B}
Da mesma maneira que determinamos A x B, podemos determinar B x A.
B x A = {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (4; 1), (4; 2), (4; 3)}
Representando no plano cartesiano, temos:
B x AVocê pode observar que em geral A x B ¹ B x A.
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de A × B.Em relação aos conjuntos:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4} e sendo as relações:
R1 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 1}, Temos que:
R1= {(2; 3), (3; 4)}
R2 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 2}, Temos que:
R2 = {(1; 3), (2; 4)}
Observe que R1 e R2 são subconjuntos de A x B.
R3 = {(x, y) Î B x A ½ y = x – 1}
R3 = {(3; 2), (4; 3)}
R4 = {(x, y) Î A x B ½ x < y}
R4 = {(1; 3), (2; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 4)}
Podemos mostrar as relações R1, R2, R3 e R4 por diagramas de flechas, representando cada par ordenado por uma flecha, com cada flecha partindo do primeiro elemento do par ordenado e chegando ao segundo.
R1 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 1}, temos que
R1 = {(2; 3), (3; 4)}
R2 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 2}, temos que
R2 = {(1; 3), (2; 4)}
R3 = {(x, y) Î B x A ½ y = x – 1}, temos que
R3 = {(3; 2), (4; 3)}
R4 = {(x, y) Î A x B ½ x < y}, temos que
R4 = {(1; 3), (2; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 4)}
Sejam os conjuntos:
A = {3, 4, 5} e B = {5, 6, 7, 8} e as relações
R5 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 2}, temos que
R5 = {(3; 5), (4; 6), (5; 7)}
Observe que R1 associa cada elemento x Î A com um único elemento y Î B.
R6 = {(x, y) Î A X B ½ y = x + 1}, temos que
R6 = {(4; 5), (5; 6)}
Observe que, em R2, 3 Î A não possui correspondente em B, pois 4 Ï B.
Qual das relações R5 ou R6 representa uma função? Qual é o domínio da função? E o contradomínio? E a imagem?
Representando R5 e R6 por diagramas de flechas, temos:
Dizemos que uma relação é uma função (f) de A em B (f:A ® B) se e somente se associa cada x Î A com um único y Î B, ou seja, para todo x ÎA, existe um único correspondente y Î B.
Observe que R5 é função de A em B, pois associa cada x Î A com um único y Î B, e R6 não é função de A em B, pois 3 Î A não possui correspondente em B.
Indicamos a função das seguintes formas:
f: {3, 4, 5} ® {5, 6, 7, 8} ½ y = x + 2 ou f: {(x, y) Î {3, 4, 5} x {5, 6, 7, 8} ½ y = x + 2}
Dizemos que a imagem de 3 pela função f é 5 e indicamos f(3) = 5.
Do mesmo modo, a imagem de 4 pela função f é 6 e indicamos f(4) = 6.
E a imagem de 5 pela função f é 7 e indicamos f(5) = 7.
A imagem de x pela função f é o número y, ou seja, y é o valor de f em x e indicamos y = f(x).No diagrama de flechas da função:
f:A ® B ½ f(x) = x + 2, com A = {3, 4, 5} e B = {5, 6, 7, 8}
O conjunto A é denominado domínio da função f e é indicado por D(f); assim: D(f) = {3, 4, 5}. O conjunto B é denominado contradomínio da função f e é indicado por CD(f).
O conjunto {5, 6, 7} Ì B é denominado conjunto-imagem da função f e é indicado por Im(f) = {5, 6, 7}.
Sendo f:A ® B uma função, o conjunto A é chamado domínio de f, D(f), o conjunto B é chamado contradomínio de f, CD(f), e o conjunto de todos os elementos y Î B para os quais existe, pelo menos, um elemento x Î A ½ f(x) = y é chamado conjunto imagem de f, Im(f).Observando os diagramas de flechas das relações e o conceito de função.
R6 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 1}
R7 = {(x, y) Î A x B ½ x < y}
R6 não é função de A em B, pois 3 Î A não possui correspondente em B.
R7 também não é função de A em B, pois 1 ∈ A possui dois correspondentes em B, e 2 Î A também possui dois correspondentes em B.
Num diagrama de flechas, uma relação R é função de A em B se de cada elemento x Î A parte uma única flecha.Observe os diagramas cartesianos.
Num diagrama cartesiano, f é função definida de A em se, e somente se, toda reta paralela ao eixo das ordenadas que passa por um ponto de abscissa x Î A intercepta o gráfico de f em um único ponto.
Observe o gráfico cartesiano de uma função f:
A relação em pares ordenados é R = {(1,4),(2,5),(3,6)}; O diagrama de flechas está anexado; A relação é uma função de A em B.
Temos que R = {(x,y) ∈ A x B / y = x + 3}.
a) O produto cartesiano A x B nos dará os possíveis pares ordenados (x,y), sendo que x ∈ A e y ∈ B.
Como A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}, então:
A x B = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}.
Agora, devemos separar os pares que satisfazem a equação y = x + 3.
Tais pares são: (1,4), (2,5) e (3,6).
Portanto, R = {(1,4),(2,5),(3,6)}.
b) O diagrama de flechas está anexado abaixo.
c) Temos que a relação é uma função de A em B.
Observe pelo diagrama de flechas que todos os elementos de A estão ligados a um elemento de B.
Como não sobram elementos em A, então podemos concluir que temos uma função de A em B.
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