Question

1. Dados dois n´umeros naturais a e b, dizemos que a ≤ b quando
existe um n´umero natural m tal que b = a + m.
Mostre que:
(a) Se a ≤ b e b ≤ c, ent˜ao a ≤ c;
(b) Se a ≤ b e x ≤ y, ent˜ao a + x ≤ b + y;
(c) Se a ≤ b e b ≤ a, ent˜ao a = b.

Answer 1

Para fazermos as demonstrações pedidas, é importante ter clara a definição da relação menor do que ou igual $(\leq).$

"Dizemos que $a\leq b$ quando existe um número natural $m$ tal que $b=a+m.$"

Tendo esta definição em mente vamos partir para o que se pede.

Item (a)

Aqui vamos provar a propriedade transitiva da relação $\leq.$

Se $a\leq b$ e $b\leq c,$ então existem naturais $m_1$ e $m_2$ tais que $b=a+m_1$ e $c=b+m_2.$

Daí:

$\Large\begin{aligned}c&=(a+m_1)+m_2\\\\&=a+(m_1+m_2)\\\\&=a+m_3.\end{aligned}$

Como $m_1, m_2\in\mathbb{N},$ então $m_1+m_2=m_3\in\mathbb{N}.$ Portanto, por definição, segue que $a\leq c.$

Item (b)

Se $a\leq b$ e $x\leq y,$ então existem números naturais $m_1$ e $m_2$ de forma que $b=a+m_1$ e $y=x+m_2.$

Somando membro a membro as duas últimas igualdades, obtemos:

$\Large\begin{aligned}b+y&=(a+m_1)+(x+m_2)\\\\&=a+x+(m_1+m_2)\\\\&=a+x+m_3.\end{aligned}$

Logo, $a+x\leq b+y.$

Item (c)

Neste item, vamos provar a propriedade aintissimétrica da relação em questão.

Por definição, sabemos que se $a\leq b$ e $b\leq a,$ existem naturais $m_1$ e $m_2$ de modo que $b=a+m_1$ e $a=b+m_2.$

Assim sendo, temos:

$\Large\begin{aligned}a&=(a+m_1)+m_2\\\\&=a+(m_1+m_2).\end{aligned}$

Para isso ser verdade, deve-se ter $m_1+m_2=0,$ ou seja, $m_1=-m_2.$ Como esses número são naturais, concluímos que $m_1=m_2=0.$

Logo, $a=b.$

Observação: A relação $\leq$ é uma ordem parcial, já que ela possui as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva. Nesta tarefa, duas dessas propriedades foram provadas. A reflexividade é facilmente mostrada notando que $a\leq a$ para todo $a\in\mathbb{N},$ uma vez que $a=a+0.$

Se quiser, veja uma questão relacionada neste link: brainly.com.br/tarefa/49099595