Question

1. Dado o ponto A = (2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), pede-se:
(a) Encontrar a equação vetorial da reta r que passa por A e tem a direção de v;
(b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente;
(c) Determinar o ponto r cuja abscissa é 4;
(d) Verificar se os pontos D = (4, -1, 2 ) e E = (5, -4, 3) pertencem a r;
(e) Determinar para que valores de m e n o ponto F = (m, 5, n) pertence a r;
(f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G = (5, 2, -4) e é paralela a r;
(g) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y.

2. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A = (3, -1, -2) e B = (1, 2, 4).

Answer 1

Exercício 1.

Parte (a)

Uma reta que tem vetor diretor $\bold{v}$ e passa por um ponto A tem equação dada por 

$(x,y,z)=A+t \bold{v}$

No presente caso, temos A(2, 3, -4) e $\bold{v} = (1, -2, 3)$, portanto, 

$(x,y,z)=(2, 3, -4)+t (1, -2, 3) \ \text{(I)}$ 

Observe que essa equação pode ser desmembrada nas seguintes equações paramétricas:

$x=2+t \ \text{(II)} \\ y = 3-2t \ \text{(III)} \\ z=-4+3t \ \text{(IV)}$


Parte (b)

Para descobrir as coordenadas do ponto B, substituímos t = 1 na equação vetorial da reta (equação (I)),

$(x,y,z)=(2, 3, -4)+(1) (1, -2, 3) = (2+1,3-2,-4+3)=(3,1,-1)$

Portanto, B(3, 1, -1). Para obter o ponto C,  substituímos t = 3 na equação vetorial da reta, 

$(x,y,z)=(2, 3, -4)+(3) (1, -2, 3)=(2+3,3-6,-4+9)=(5,-3,5)$

Sendo assim, C(5, -3, 5).

Parte (c)

Para obter o ponto cuja abscissa é 4, substituímos x = 4 em (II):

$x=2+t \\4 = 2 +t \\ \therefore t = 2$

Em seguida, substituímos t = 2 nas equações (III) e (IV):

$y = 3-2t=3-2(2)=-1 \\ z = -4+3(2)=2$

Juntando os três resultados anteriores, concluímos que o ponto correspondente a x = 4 é (4, -1, 2).

Parte (d)

Para verificar se um ponto pertence à reta, basta substituir suas coordenadas na equação vetorial (equação (I)) e verificar se existe um único valor de t que satisfaça a equação. Vamos substituir D = (4, -1, 2):

$(x,y,z)=(2, 3, -4)+t (1, -2, 3) \\ (4, -1, 2) = (2, 3,-4)+t(1,-2,3) \\(4,-1,2)=(2+t, 3-2t,-4+3t)$

Dessa equação resulta o sistema 

$4 = 2 + t \rightarrow t = 2 \\ -1 = 3-2t \rightarrow t = 2 \\ 2= -4+3t \rightarrow t = 2$

Como as três equações são satisfeitas pelo mesmo valor de t, concluímos que D(4, -1, 2) pertence à reta r e ocorre quando t = 1. Repita o mesmo processo para verificar se o ponto E pertence à reta em questão.

Parte (e)

Para determinar as coordenadas m e n do ponto F, substitua x = m, y = 5 e z = n nas equações (II) a (IV):

$m=2+t \ \text{(V)} \\ 5 = 3-2t \ \text{(VI)} \\ n=-4+3t \ \text{(VII)}$

Observe que o valor de t pode ser obtido da equação (VI):

$5 = 3-2t \rightarrow 2=-2t \rightarrow t =-1$

Em seguida, substitua t = -1 nas equações (V) e (VII) para obter m e n:

$m=2+t= 2+(-1)=1 \\ n=-4+3t=-4+3(-1)=-7$

Sendo assim, as coordenadas do ponto F são F(m, 5, n) = (1, 5, -7).

Vou pular a f e a g pq estou com dúvidas sobre os meus resultados...

Exercício 2.

A reta r deve ter vetor diretor AB e passar pelo ponto A (ou B), portanto, sua equação vetorial é a seguinte,

$(x,y,z)=(x_A , y_A , z_A) + t\bold{AB}$

No caso, temos $A(x_A , y_A, z_A) = (3, -1, -2)$ e $\bold{AB} = B -A = (1 -3, 2-(-1),4-(-2))=(-2,3,6)$. Portanto, a equação vetorial de r é 

$(x,y,z)=(3,-1,-2)+t(-2,3,6)$

As equações paramétricas correspondentes são

$x = 3 -2t \\ y = -1 + 3t \\ \ z = -2 +6t$

Answer 2

Resposta:

(f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G = (5, 2, -4) e é paralela a r;

(x, y, z) = (5, 2, -4) + t(1, -2, 3)

(x, y, z) = (5 + t; 2 - 2t; -4 + 3t)

Logo a equação paramétrica da reta e:

x = 5 + t

y = 2 - 2t

z = -4 + 3t

Explicação passo-a-passo: