Question

1-Dadas as retas r: 2x-y+5=0 de
s: 4x+2y-3=0
Verificar se são perpendiculares no plano cartesiano
2-Em qual ponto as retas farão a intersecção
3-Se as retas não forem perpendiculares, qual é o ângulo formado pelas duas retas.
4-Qual é a distância entre o ponto A(-5,-8) e a reta r?
5-Qual é a distância entre o ponto A(-5,-8)e a reta s?

Answer 1

As retas r e s não são perpendiculares; O ponto de interseção é (-7/8,26/8); O ângulo formado entre as retas é igual a arccos(3/5); A distância entre A(-5,-8) e r é 3/√5 e entre s é $\frac{39}{2\sqrt{5}}$.

1. O vetor normal da reta r é u = (2,-1) e o da reta s é v = (4,2).

Se r e s forem perpendiculares, então o produto interno entre os vetores deverá ser igual a 0.

Porém,

<u,v> = 2.4 + (-1).2 = 8 - 2 = 6.

Logo, r e s não são perpendiculares.

2. Da reta r podemos dizer que y = 2x + 5. Substituindo o valor de y na equação da reta s:

4x + 2(2x + 5) - 3 = 0

4x + 4x + 10 - 3 = 0

8x + 7 = 0

8x = -7

x = -7/8.

Logo,

y = -14/8 + 5

y = 26/8.

O ponto de interseção é (-7/8,26/8).

3. A norma do vetor u é:

||u|| = √2² + (-1)² = √4 + 1 = √5.

E a do vetor v é:

||v|| = √4² + 2² = √16 + 4 = √20 = 2√5.

O ângulo entre os vetores será:

cos(α) = 6/(√5.2√5)

cos(α) = 3/5

α = arccos(3/5).

4. A distância entre o ponto A(-5,-8) e a reta r: 2x - y + 5 = 0 é igual a:

$d=\frac{|2.(-5)-1.(-8)+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$

$d=\frac{|-10+8+5|}{\sqrt{4+1}}$

$d=\frac{|3|}{\sqrt{5}}$

d = 3/√5.

5. Já a distância entre o ponto A(-5,-8) e a reta s: 4x + 2y - 3 = 0 é:

$d=\frac{|4.(-5)+2.(-8)-3|}{\sqrt{4^2+2^2}}$

$d=\frac{|-20-16-3|}{\sqrt{16+4}}$

$d=\frac{|-39|}{2\sqrt{5}}$

$d=\frac{39}{2\sqrt{5}}$.