Question

1. - Dadas as funções f(x) = ax² + bx + c a seguir, determine:
i) os coeficientes, a concavidade da parábola e onde intercepta (corta) no eixo y
ii) as raízes da função ou zeros da função (onde corta no eixo x)
il) vértice da função
iv) o gráfico da função

a) f(x) = x² - 6x + 9
b) f(x) = x² - 6x - 7​

Answer 1

São dadas funções polinomiais do 2º grau (quadráticas), ou seja, o maior expoente de "x" (variável) é 2 e, portanto, sua representação gráfica será dada por uma parábola, como mencionado no texto.

O próprio texto da questão nos dá um bom roteiro para que possamos plotar o gráfico das funções ao mencionar alguns pontos característicos da função do 2º grau.

Estes pontos são:

--> Raízes Reais da função, caso existam. Como mencionado no enunciado, a parábola intercepta o eixo das abscissas (eixo x) nestes pontos (x',0) e (x'',0).

--> Vértice, o ponto máximo ou ponto mínimo. Este ponto, calculado como é mostrado abaixo, é o ponto máximo quando a concavidade da parábola está voltada para baixo (a<0) e ponto mínimo quando a concavidade da parábola está voltada para cima (a>0).

$\boxed{\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)}$

--> Ponto (0,c). Neste ponto determinado pelo coeficiente "c", a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo y).

Além destes pontos, caso se queira um desenho mais preciso, podemos ainda calcular outros pontos simplesmente substituindo "x" na função por um valor qualquer (dentro do domínio).

A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente "a" da função. Quando "a" é positivo, a concavidade estará voltada para cima, quando "a" é negativo, a concavidade estará voltada para baixo.

a)

Coeficientes:

$\boxed{\begin{array}{ccc}a&=&1\\b&=&-6\\c&=&9\end{array}}$

Como "a" é positivo, a concavidade está voltada para cima.

Vamos passar ao cálculo das raízes utilizando Bhaskara:

$\Delta~=~b^2-4ac\\\\\Delta~=~(-6)^2-4\cdot 1\cdot 9\\\\\Delta~=~36-36\\\\\boxed{\Delta~=~0}\\\\\\x'~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-6)+\sqrt{0}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{6+0}{2}~=~\dfrac{6}{2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=~3}\\\\\\x''~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-6)-\sqrt{0}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{6-0}{2}~=~\dfrac{6}{2}~\Rightarrow~\boxed{x''~=~3}$

Temos então uma raiz dupla igual a 1,5, logo a função interceptará o eixo das abscissas no ponto (3 , 0).

Podemos passar para o cálculo do vértice agora:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{(-6)}{2\cdot 1}~,\,-\dfrac{0}{4\cdot 1}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{(-6)}{2}~,\,-\dfrac{0}{4}\right)\\\\\\\boxed{\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(3~,~0\right)}$

Por fim, temos o ponto onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas, o ponto (0,9).

Agora basta localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos uma parábola por eles. A parábola deve ficar semelhante a que pode ser vista no anexo 1.

b)

Coeficientes:

$\boxed{\begin{array}{ccc}a&=&1\\b&=&-6\\c&=&-7\end{array}}$

Como "a" é positivo, a concavidade está voltada para cima.

Vamos passar ao cálculo das raízes utilizando Bhaskara:

$\Delta~=~b^2-4ac\\\\\Delta~=~(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-7)\\\\\Delta~=~36+28\\\\\boxed{\Delta~=~64}\\\\\\x'~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-6)+\sqrt{64}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{6+8}{2}~=~\dfrac{14}{2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=~7}\\\\\\x''~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{4a}~=~\dfrac{-(-6)-\sqrt{64}}{4\cdot 1}~=~\dfrac{6-8}{4}~=~\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~\boxed{x''~=~-1}$

Logo a função interceptará o eixo das abscissas nos pontos (7 , 0) e (-1,0).

Podemos passar para o cálculo do vértice agora:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{(-6)}{2\cdot 1}~,\,-\dfrac{64}{4\cdot 1}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{(-6)}{2}~,\,-\dfrac{64}{4}\right)\\\\\\\boxed{\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(3~,\,-16\right)}$

Por fim, temos o ponto onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas, o ponto (0,-7).

Agora basta localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos uma parábola por eles. A parábola deve ficar semelhante a que pode ser vista no anexo 2.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$