Question

1) Dadas as equações das circunferências: x² + y² - 2x = 0 x² + y² - 2x – 8y + 8 = 0 a) Determine o(s) ponto(s) de intersecção das circunferências. b) As circunferências são secantes ou tangentes entre si?

Answer 1

• 1) Dadas as equações das circunferências: x² + y² - 2x = 0 e x² + y² - 2x – 8y + 8 = 0:

* a) Determine o(s) ponto(s) de intersecção das circunferências.

* b) As circunferências são secantes ou tangentes entre si?

• Para resolver essa questão, é interessante começarmos pelo item b), pois sabendo a classificação dessas duas circunferências, saberemos quantos pontos de interseção as mesmas possuem.

• Item b):

Vamos começar identificando os centros e raios dessas circunferências:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2x = 0$

Usaremos macete para descobrir o centro e o raio. Primeiro você coloca a estrutura de uma equação reduzida:

$( \sf x {}^{2} \: \: \: \: \: ) {}^{2} +(y \: \: \: \: \: \: ){}^{2} = 0$

Agora o você divide o termo em "x" e o termo em "y" por 2 e mantém o sinal, caso não tenha termos em x ou y o resultado é "0".

$\sf (x {}^{2} - 2 /2) {}^{2} + (y - 0/2) {}^{2} = 0 \\ \sf (x - 1) {}^{2} + (y - 0) {}^{2} = 0 \\ \sf (x - 1) {}^{2} + (y) {}^{2} = 0$

Agora para finalizar você deve somar no outro membro da equação o quadrado dos números que você obteve a partir dessa divisão por 2.

$\sf (x - 1) {}^{2} + y{}^{2} = 0 + 1 {}^{2} + 0 {}^{2} \\ \sf ( x - 1) {}^{2} + {y}^{2} = 1$

Temos então que:

$\sf C(1,0) \: \: \: e \: \: \: r = \sqrt{1 } \\ \boxed{ \sf C(1,0) \: \: \: e \: \: \: r = 1}$

Fazendo a mesma coisa com a segunda equação:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 8y + 8 = 0 \\ \sf (x - 1) {}^{2} + (y - 4) {}^{2} = - 8 + 1 {}^{2} + 4 {}^{2} \\ \sf (x - 1) + (y - 4) {}^{2} = - 8 + 1 + 16 \\ \sf (x - 1) + (y - 4) {}^{2} = 8 + 1 \\ \sf (x - 1) + (y - 4) = 9 \\ \\ \sf C(1,4) \: \: \: e \: \: \: r = \sqrt{9} \\ \boxed{\sf C(1,4) \: \: \: e \: \: \: r = 3}$

Tendo feito isso, devemos calcular a distância entre os centros, pois é esse valor que nos dirá qual a classificação.

$\begin{cases} \sf C _1 (1,0) \rightarrow x_1 = 1 \: \: \: \: y_1 = 0 \\ \sf C_2 (1,4) \rightarrow x_2 = 1 \: \: \: \: y_2 = 4 \end{cases}$

A fórmula usada será:

$\sf d_{c _1 ,c_2} = \sqrt{(x - x_1) {}^{2} + (y - y_1) {}^{2} }$

Substituindo os dados:

$\sf d_{c _1 ,c_2} = \sqrt{(x _2 - x_1) {}^{2} + (y_ 2- y_1) {}^{2} } \\ \sf d_{c _1 ,c_2} = \sqrt{(1 - 1) {}^{2} + (4 - 0) {}^{2} } \\ \sf d_{c _1 ,c_2} = \sqrt{0 {}^{2} + 4 {}^{2} } \\ \sf d_{c _1 ,c_2} = \sqrt{0 + 16} \\ \sf d_{c _1 ,c_2} = \sqrt{16} \\ \boxed{\sf d_{c _1 ,c_2} = 4 \: u.c}$

Temos então que essas circunferências são tangentes exteriores, pois:

$\sf r + R = d_{c _1 ,c_2} \\ \sf 1 + 3 = 4 \\ \sf 4 = 4 \rightarrow tangentes \: exteriores$

Essa classificação possui apenas um ponto de interseção.

• Agora vamos partir para o item a).

• Item a)

Temos as duas equações:

$\begin{cases} \sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2x = 0 \\ \sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 8y + 8 = 0 \end{cases}$

Para encontrar os pontos de interseção vamos realizar algumas manipulações. Na primeira equação podemos dizer que:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} = 2x$

Com essa informação, podemos substituir esse valor no local de x² + y² na segunda equação:

$\sf \underbrace{x {}^{2} + y {}^{2}}_{2x} - 2x - 8y + 8 = 0 \\ \sf \cancel{2x - 2x }- 8y + 8 = 0 \\ \sf - 8y + 8 = 0 \\ \sf - 8y = - 8 \\ \sf y = \frac{ - 8}{ - 8} \\ \boxed{ \sf y = 1}$

Já descobrimos a ordenada do ponto, que é "1", para descobrir a abscissa, vamos substituir esse valor no local de "y" em uma das duas equações e encontrar "x":

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} = 2x \\ \sf x {}^{2} + 1 = 2x \\ \sf x {}^{2} - 2x + 1 = 0 \\ \sf ( x - 1).(x - 1) = 0 \\ \\ \sf ( x - 1) = 0 \\ \sf x = 1 \\ \\ \sf ( x - 1) = 0 \\ \sf x - 1 \\ \\ \boxed{ \sf x_1 = x_2 = 1}$

Portanto temos que o ponto de interseção é:

$\sf P(1,1) \rightarrow ponto$

Espero ter ajudado