Question

1- Dada secx = 4, calcule o valor da cossecx, sendo x um ângulo pertencente ao 1° quadrante.

2- Mostre a seguinte identidade trigonométrica:

sec²x + 1 = tg²x

3- Mostre a seguinte idêntidade trigonométrica:

(tgx . cotgx) . (secx - cosx) . (cossecx - senx) = 1

Answer 1

(1) cossec(x) = 4√15/15

(2) Da identidade fundamental, sen²x + cos²x = 1. Dividindo tudo por cos²x: tan²x + 1 = sec²x.

(3) Prova abaixo.

$\dotfill$

(1) O secante de um ângulo é o inverso do cosseno desse ângulo. Usando a identidade fundamental:

sen²x + cos²x = 1

Dividindo tudo por cos²x:

tan²x + 1 = sec²x

Substituindo:

tan²x + 1 = 4²

tan²x = 15

tan x = √15

Assim,

sen x = tan x * cos x = √15 * 1/4 = √15/4    e    cossec(x) = 4/√15 = 4√15/15

(2) A identidade trigonométrica da questão está errada. O certo seria sec²x - 1 = tg²x    ou    tan²x + 1 = sec²x, provado anteriormente a partir da identidade fundamental.

(3) (tanx + cotgx) * (secx - cosx) * (cossecx - senx) = 1

        [ (1 + tan²x)/tan x]  *   [ (1 - cos²x)/cos x] * [(1 - sen²x)/sen x  ] = 1      

        [ sec²x/tan x]  *   [ sen² x/cos x] * [cos² x /sen x  ] = 1      

        [ sec²x/tan x]   *   [ sen² x/cos x] * [cos² x /sen x  ] = 1  

        [1 /(tan x*cos²x)]   *   [ sen x] * [cos x  ] = 1  

        [1 /(sen x*cos x)]  *  [ sen x] * [cos x  ] = 1  

        1 = 1

Até mais!