Question

1. Dada a progressão geométrica, calcule o termo pedido: a) (2, 6, 18, ...) a₁₀ b) (-3, -6, ...) a₁₃ c) (4, -8, ...) a₁₀ d) (12, 6, ...) a₉ 2. Dada a progressão geométrica, calcule a soma pedida: a) (2, 6, 18, ...) S₁₀ b) (-3, -6, ...) S₁₃ c) (4, -8, ...) S₁₀ d) (12, 6, ...) S₉

Answer 1

Progressão geométrica(P G)

É uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante a qual chamamos de razão da progressão. A razão de uma PG é representada pela letra q que nos lembra quociente.

Uma PG pode ser classificada em

✅ crescente : quando cada termo, a partir do segundo,é maior que o termo que o antecede. Para isso $\boxed{\mathsf{a_1>0~e~q>1}}$

Ou $\boxed{\mathsf{a_1\textless 0~e~0\textless~q\textless 1}}$

Exemplo: (4,8,16,32...)

$\mathsf{(-4,-2,-1,-\dfrac{1}{2}}$

✅ decrescente: quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para isso $\mathsf{a_1>0~e~0\textless q\textless 1}$

ou

$\mathsf{a_1\textless 0~e~q>1}$

Exemplo: $\mathsf{(8,4,2,1,\dfrac{1}{2},...)}$

$\mathsf{(-1,-2,-4,-8,...)}$

✅ oscilante: quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois termoa consecutivos quaisquer tem sinais opostos. Para isso

$\mathsf{a_{1}\ne 0~e~q\textless 0}$

Exemplo: (3,-6,12,-24,48...)

Termo geral de uma PG em função de um termo p qualquer

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a_{n}=a_{p}\cdot q^{n-p}}}}}}$

Termo geral da PG em função do 1º termo

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a_ {n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}}}}}$

Soma dos termos de uma PG finita

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}}}}}}$

Soma dos termos de uma PG infinita

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{n}=\dfrac{a_1}{1-q}}}}}}$

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1. Dada a progressão geométrica, calcule o termo pedido: a) (2, 6, 18, ...) a₁₀ b) (-3, -6, ...) a₁₃ c) (4, -8, ...) a₁₀ d) (12, 6, ...) a₉

a)(2,6,18,...)

$\mathsf{q=\dfrac{6}{2}=3}\\\mathsf{a_{10}=a_3\cdot q^7}\\\mathsf{a_{10}=18\cdot 3^7}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a_{10}=39366}}}}}$

b) (-3,-6,...)

$\mathsf{q=\dfrac{-6}{-3}=2}\\\mathsf{a_{13}=a_2\cdot q^{11}}\\\mathsf{a_{13}=-6\cdot 2^{11}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a_{13}=-12288}}}}}$

c) (4,-8,...)

$\mathsf{q=\dfrac{-8}{4}=-2}\\\mathsf{a_{10}=a_2\cdot q^8}\\\mathsf{a_{10}=-8\cdot (-2)^8}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a_{10}=-2048}}}}}$

d) (12,6,...)

$\mathsf{a_9=a_2\cdot q^7}\\\mathsf{a_9=6\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^7}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{a_9=\dfrac{3}{64}}}}}}$

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2. Dada a progressão geométrica, calcule a soma pedida: a) (2, 6, 18, ...) S₁₀ b) (-3, -6, ...) S₁₃ c) (4, -8, ...) S₁₀ d) (12, 6, ...) S₉

a) (2,6,18,...)

$\mathsf{S_{10}=\dfrac{2(1-3^{10})}{1-3}}\\\mathsf{S_{10}=\dfrac{2(1-59049}{-2}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{10}=59048}}}}}$

b) (-3,-6,...)

$\mathsf{S_{13}=\dfrac{-3(1-2^{13})}{1-2}}\\\mathsf{S_{13}=\dfrac{-3(1-59049)}{-1}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{13}=24573}}}}}$

c) (4,-8,...)

$\mathsf{S_{10}=\dfrac{4(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}}\\\mathsf{S_{9}=\dfrac{4\cdot(-1023)}{3}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{10}=-1364}}}}}$

d) (12,6,...)

$\mathsf{S_{9}=\dfrac{12(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{9})}{1-\frac{1}{2}}}\\\mathsf{S_{9}=\dfrac{12(\dfrac{511}{512})}{\frac{1}{2}}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_{9}=\dfrac{1533}{64}}}}}}$

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