Question

1. Dada a função y = f (x) = 4(x – 3)2 + 24x, determine:
a. Determine o intercepto com o eixo y. (x = 0)
b. Determine as raízes da função. (y = 0)
c. Identificar se a função é crescente ou decrescente.
d. Esboce o gráfico da função.

2. Dada a função y = f (x) = - 3x2 – 4x + 1, determine:
a. Determine o intercepto com o eixo y. (x = 0)
b. Determine as raízes da função. (y = 0)
c. Identificar se a função é crescente ou decrescente.
d. Esboce o gráfico da função.

3. Dada a função y = f (x) = 4(x - 12) + 4x, determine:
a. Determine o intercepto com o eixo y. (x = 0)
b. Determine as raízes da função. (y = 0)
c. Identificar se a função é crescente ou decrescente.
d. Esboce o gráfico da função.

4. Dada a função y = f (x) = 3x + 54, determine:
a. Determine o intercepto com o eixo y. (x = 0)
b. Determine as raízes da função. (y = 0)
c. Identificar se a função é crescente ou decrescente.
d. Esboce o gráfico da função.

Answer 1

Resposta:

1. A função corta o eixo OY no ponto (0,36) e não possui raízes reais.

2. A função corta o eixo OY no ponto (0,1) e possui raízes $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3} \ e \ x_2=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}$.

3. A função corta o eixo OY no ponto (0,-48) e possui raiz $x=6$.

4. A função corta o eixo OY no ponto (0,54) e possui raiz $x=-18$.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar conceitos relacionados as funções afim e quadrática.

1. Seja a função quadrática $y = f (x) = 4(x - 3)^2 + 24x$.

Primeiramente vamos colocá-la na forma geral $y=ax^2+bx+c$ desenvolvendo o produto notável.

$y=4(x-3)^3+24x\\\\y=4(x^2-6x+9)+24x\\\\y=4x^2-24x+36+24x\\\\y=4x^2+36$

a. O gráfico que representa uma função quadrática intersepta o eixo OY no ponto de coordenadas $(0,c)$, neste caso, o ponto $(0,36)$.

b. Para obter as raízes ou zeros da função basta igualarmos a função a zero.

$y=4x^2+36\\\\4x^2=-36\\\\x^2=-9$

Como não existe valor real que satisfaça a condição acima, dizemos que a função não possui raízes reais.

c. Como o gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola, esta possui um intervalo onde é crescente e outro onde é decrescente determinado pelas coordenadas de seu vértice:

$V=(x_v,y_v)\\\\V=\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

Calculando $x_v$ temos:

$x_v=-\dfrac{0}{8}=0$

E como $a=4>0$ a concavidade é voltada para cima a função é:

Decrescente para $x\leq0$ e crescente para $x>0$

d. O gráfico encontra-se na figura 1 abaixo.

2. Seja a função $y = f (x) = - 3x^2 -4x + 1$.

a. As coordenadas do ponto de interseção com o eixo OY são dadas por $(0,1)$.

b. Igualando a função a zero e resolvendo a equação do 2º grau resultante temos:

$-3x^2-4x+1=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-4)^2-4\cdot (-3)\cdot 1\\\\\Delta=16+12\\\\\Delta=28\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x=\dfrac{4\pm2\sqrt{7}}{-6}\\\\x_1=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3} \ e \ x_2=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}$

c. Obtendo a coordenada do x do vértice temos:

$x_v=-\dfrac{-4}{-6}=-\dfrac{2}{3}$

E sabendo que $a=-3<1$ a concavidade é voltada para baixo, logo a função é crescente para $x\leq-\dfrac{2}{3}$ e decrescente para $x>-\dfrac{2}{3}$

d. O gráfico encontra-se na figura 2 abaixo.

3. Seja a função afim  $y = f (x) = 4(x - 12) + 4x$ inicialmente vamos colocar a função na forma $y=ax+b$ aplicando a propriedade distributiva.

$y=4(x-12)+4x\\\\y=4x-48+4x\\\\y=8x-48$

a. Como a função é afim, esta corta o eixo OY no ponto $(0,b)$, portanto $(0,-48)$.

b. Igualando a função a zero temos:

$8x-48=0\\\\8x=48\\\\x=6$

c. Como temos $a=8>0$ a função é classificada como crescente.

d. O gráfico encontra-se na figura 3 abaixo.

4. Dada a função afim $y = f (x) = 3x + 54$ temos:

a. Que a mesma intersepta o eixo OY no ponto $(0,b)$, isto é, no ponto $(0,54)$

b. Igualando a função a zero obtemos:

$3x+54=0\\\\3x=-54\\\\x=-18$

c. Como $a=3>0$ a função afim é crescente.

d. O gráfico encontra-se na figura 4 abaixo.

Para saber mais sobre função afim acesse: https://brainly.com.br/tarefa/20718741

E para função quadrática acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/47596581