Question

1) Dada a função a seguir:
f(x) = x^3.cos^3x
Determine a sua derivada.

2) A função horária de um movimento é s(t) = t.√t. Em que instante a velocidade vale 3/2 m/s?

Answer 1

1) Na primeira questão temos a seguinte função:

$f(x) = x^{3}.\cos^{3}x$, a questão nos pede para encontrar a derivada da mesma.

• 1) Analisar a função:

Nessa analise você deve observar como que está disposta essa função, se é a multiplicação de duas funções, divisão de duas funções, uma função dentro de outra, dentre outras formas. Pode-se observar que no nosso caso está havendo uma multiplicação de funções, ou seja, devemos usar a regra do produto que diz:

$\boxed{\frac{d}{dx} f((x).g(x)) = \frac{d}{dx} (f(x)).g(x) + f(x). \frac{d}{dx}((g(x)) }$

• 2) Normear as funções:

Como você ver, a regra do produto envolve duas funções, para não se embaralhar, é bom sempre nomear as funções: $u=x^{3}\:\:e\:\:h=\cos^{3}x$.

• 3) Realizar o cálculo:

$\frac{d}{dx} u((x).h(x)) = \frac{d}{dx} (u(x)).h(x) + u(x). \frac{d}{dx}((h(x)) \\ \\ \frac{d}{dx} (x {}^{3}. \cos {}^{3}x) = \frac{d}{dx} x {}^{3} . \cos {}^{3} x + x {}^{3}. \frac{d}{dx} \cos{}^{3} x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Lembre-se da regra da potência e de que o cosseno pode ser escrito da seguinte maneira:

$x {}^{n} = n.x {}^{n - 1} \: \: e \: \: \: \cos {}^{3} x = ( \cos x) {}^{3}$

Aplicando esses bizus:

$\frac{d}{dx} (x {}^{3}. \cos {}^{3}x) = 3x {}^{2} . \cos {}^{3} x + x {}^{3} . \frac{d}{dx} (\cos x) {}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{d}{dx} (x {}^{3}. \cos {}^{3}x) = 3x {}^{2} . \cos {}^{3} x + x {}^{3} .3.( \cos x) {}^{2} . \frac{d}{dx} \cos x \\ \\ \frac{d}{dx} (x {}^{3}. \cos {}^{3}x) = 3x {}^{2} . \cos {}^{3} x +3 x {}^{3} \cos {}^{2} x.( - \sin x) \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{d}{dx} (x {}^{3}. \cos {}^{3}x) = 3x {}^{2} . \cos {}^{3} x - 3x {}^{3} \cos {}^{2} x. \sin x }}}\: \: \: \: \: \:$

2) Temos a seguinte função horária do movimento $t.\sqrt{t}$, a questão nos fornece essa função e pergunta o tempo (t) em que a velocidade possuirá o módulo 3/2m/s. Para resolver esse problema, devemos lembrar que a derivada da função espaço é igual a função velocidade, em palavras matemáticas:

$\boxed{ \boxed{\frac{d}{dt} s(t) = v(t)}}$

• 1) Derivando a função espaço:

$\frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} t . \sqrt{t} \longleftrightarrow\frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} t.t {}^{ \frac{1}{2} } \longleftrightarrow \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} t {}^{ \frac{3}{2} }$

Derivando essa simplificação:

$\frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} t {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ v(t) = \frac{3}{2} .t {}^{ \frac{3}{2} - 1} \: \\ \\ v(t) = \frac{3}{2} .t {}^{ \frac{1}{2} } \: \: \: \: \: \: \\ \\ v(t) = \frac{3 \sqrt{t} }{2} \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só substituir o valor da velocidade informada no local de v(t):

$\frac{3}{2} = \frac{3}{2} \sqrt{t} \: \: \: \: \\ \\ \frac{ \frac{3}{2} }{ \frac{3}{2} } = \sqrt{t} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ (1 ) {}^{2} = (\sqrt{t} ) {}^{2} \\ \\ \boxed{ \boxed{ t = 1s }}\: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado