Question

1- Construa duas matrizes A e B, sendo que A=(aij) 2x2, tal que aij= 2i + j e a matriz B=(bij) 2x2 , tal que bij= i-
2j e depois encontre:
a)A t =
b) - B =
c) A + B =
d)A - B =
e) -3. B =
f) 2A - 3B=

Answer 1

⠀⠀Construindo as matrizes e resolvendo cada item encontramos que:

  $\begin{array}{l}a)~A^t=\begin{bmatrix}3&5\\4&6\end{bmatrix}\\\\b)\,-B=\begin{bmatrix}1&3\\0&2\end{bmatrix}\\\\c)~A+B=\begin{bmatrix}2&1\\5&4\end{bmatrix}\\\\d)~A-B=\begin{bmatrix}4&7\\5&8\end{bmatrix}\\\\e)\,-3B=\begin{bmatrix}3&9\\0&6\end{bmatrix}\\\\f)~2A-3B=\begin{bmatrix}9&17\\10&18\end{bmatrix}\end{array}$

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Considerações e resolução

⠀⠀Para construir uma matriz do zero tendo sua lei de formação, basta relacionar a expressão dessa lei com as posições $i$ : linha e $j$ : coluna dos elementos (por ex.: o elemento $a_{12}$ se situa na linha 1 e coluna 2).

⠀⠀Duas matrizes $\smallA=(a_{ij})_{\sf2x2}$ e $\smallB=(b_{ij})_{\sf2x2}$ — note que ambas tem duas linhas e duas colunas (2x2) — são definidas por suas respectivas leis de formação, $\smalla_{ij}=2i+j$ e $\smallb=i-2j$. Em virtude disso, teremos que:

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          $\large\begin{array}{cc}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\\\A=\begin{bmatrix}2(1)+(1)&2(1)+(2)\\2(2)+(1)&2(2)+(2)\end{bmatrix}\\\\A=\begin{bmatrix}2+1&2+2\\4+1&4+2\end{bmatrix}\\\\A=\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}\end{array}\begin{array}{|cc}B=\begin{bmatrix}b_{11}&a_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}\\\\B=\begin{bmatrix}(1)-2(1)&(1)-2(2)\\(2)-2(1)&(2)-2(2)\end{bmatrix}\\\\B=\begin{bmatrix}1-2&1-4\\2-2&2-4\end{bmatrix}\\\\B=\begin{bmatrix}-1&-3\\0&-2\end{bmatrix}\end{array}$

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⠀⠀Com as matrizes definidas podemos encontrar o resultado de cada item:

a) $\large\boldsymbol{A^t}$

⠀⠀Essa é a matriz transposta de $A$. Para encontrá-la basta comutar os elementos da diagonal secundária:

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                                                     $\qquad\qquad\Large\begin{array}{cc}A^t\\\\A^t=\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}^t\\\\A^t=\begin{bmatrix}3&5\\4&6\end{bmatrix}\end{array}$

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b) $\large\boldsymbol{-\,B}$

⠀⠀Como $-\,1$ multiplica a matriz $B$ todos seus elementos serão afetados por esse sinal:

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                            $\Large\begin{array}{cc}-\,B\\\\-\,B=-\begin{bmatrix}-\,1&-\,3\\0&-\,2\end{bmatrix}\\\\-\,B=\begin{bmatrix}-\,1\cdot(-\,1)&-\,3\cdot(-\,1)\\0\cdot(-\,1)&-\,2\cdot(-\,1)\end{bmatrix}\\\\-\,B=\begin{bmatrix}1&3\\0&2\end{bmatrix}\end{array}$

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c) $\large\boldsymbol{A+B}$

⠀⠀Como essas matrizes são de mesma ordem, basta somar os elementos em suas respectivas posições, formando assim uma nova matriz:

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                           $\Large\begin{array}{cc}A+B\\\\A+B=\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-\,1&-\,3\\0&-\,2\end{bmatrix}\\\\A+B=\begin{bmatrix}3+(-\,1)&4+(-\,3)\\5+0&6+(-\,2)\end{bmatrix}\\\\A+B=\begin{bmatrix}3-1&4-3\\5&6-2\end{bmatrix}\\\\A+B=\begin{bmatrix}2&1\\5&4\end{bmatrix}\end{array}$

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d) $\large\boldsymbol{A-B}$

⠀⠀Semelhante ao que fizemos no item d), só que agora é subtraindo:

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                             $\Large\begin{array}{cc}A-B\\\\A-B=\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-\,1&-\,3\\0&-\,2\end{bmatrix}\\\\A-B=\begin{bmatrix}3-(-\,1)&4-(-\,3)\\5-0&6-(-\,2)\end{bmatrix}\\\\A-B=\begin{bmatrix}3+1&4+3\\5&6+2\end{bmatrix}\\\\A-B=\begin{bmatrix}4&7\\5&8\end{bmatrix}\end{array}$

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e) $\large\boldsymbol{-\,3\cdot B}$

⠀⠀Essa é semelhante ao item b), só que agora é multiplicando todos os elementos por $-\,3$:

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                           $\Large\begin{array}{cc}-\,3B\\\\-\,3B=-\,3\cdot\begin{bmatrix}-\,1&-\,3\\0&-\,2\end{bmatrix}\\\\-\,3B=\begin{bmatrix}-\,1\cdot(-\,3)&-\,3\cdot(-\,3)\\0\cdot(-\,3)&-\,2\cdot(-\,3)\end{bmatrix}\\\\-\,3B=\begin{bmatrix}3&9\\0&6\end{bmatrix}\end{array}$

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f) $\large\boldsymbol{2A-3B}$

⠀⠀Por fim, temos mais essa expressão para resolver. Como já encontramos o valor de $-\,3B$ no item anterior vamos já usá-lo para não perder tempo:

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                            $\Large\begin{array}{cc}2A-3B\\\\2A-3B=2\cdot\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3&9\\0&6\end{bmatrix}\\\\2A-3B=\begin{bmatrix}3\cdot2&4\cdot2\\5\cdot2&6\cdot2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3&9\\0&6\end{bmatrix}\\\\2A-3B=\begin{bmatrix}6&8\\10&12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3&9\\0&6\end{bmatrix}\\\\2A-3B=\begin{bmatrix}6+3&8+9\\10+0&12+6\end{bmatrix}\\\\2A-3B=\begin{bmatrix}9&17\\10&18\end{bmatrix}\end{array}$

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⠀⠀E assim se encerra a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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