Question

1. Considere os três pontos que dividem o segmento AB em quatro partes iguais, sendo A(3,2) e B(15,10). Determine a soma das ordenadas desses pontos.

2. Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). Determine a soma das coordenadas do quarto vértice.

3. Considere o triângulo equilátero de vértices A(0,m+2), B(m,-2) e C(-m,-2). Determine o valor de m e informe o baricentro do triângulo.

4. No triângulo ABC, B(2;4) é um dos vértices, G(3;3) o seu baricentro e M(3;4) o ponto médio do lado BC. Calcule as coordenadas dos vértices A e C.


5. Prove analiticamente que os segmentos de reta que ligam os pontos médios dos lados opostos de um quadrilátero dividem ao meio um ao outro.

Answer 1

Boa tarde

1) 

A(3,2)
B(15,10). 

(15 - 3)/4 = 12/4 = 3
(10 - 2)/4 = 8/4 = 2

A(3,2)
C(6,4)
D(9,6)
E(12,8)
B(15,10)

Determine a soma das ordenadas desses pontos.
4 + 6 + 8 = 18

2)

A(  1, 4),
B(–2, 6),
C(  0, 8). 

ponto médio AC
Mx = (1 + 0)/2 = 1/2
My = (4 + 8)/2 = 6

(Bx + Dx)/2 = (-2 + Dx)/2 = 1
Dx - 2 = 2
Dx = 4

(By + Dy)/2 = (6 + Dy)/2 = 6
6 + Dy = 12
Dy = 12 - 6 = 6

Dx + Dy = 4 + 6 = 10

3) 

A(0, m+2), B(m, -2) , C(-m, -2).

dAB² = m² + m² + 8m + 16 = 2m² + 8m + 16
dAC² = m² + m² + 8m + 16 = 2m² + 8m + 16
dBC² = 4m² 

4m² = 2m² + 8m + 16
2m² - 8m - 16 = 0
m² - 4m - 8 = 0

delta
d² = 16 + 32 = 48 = 16*3
d = 4√3

m1 = (4 + 4√3)/2 = 2 + 2√3
m2 = (4 - 4√3)/2 = 2 - 2√3

primeiro triangulo
A(0, m+2), B(m, -2) , C(-m, -2).
A(0, 4 + 2√3), B(2 + 2√3, -2) , C(-2 - 2√3, -2).

baricentro
Gx = (0 + 2 + 2√3 - 2 - 2√3)/3 = 0
Gy = (4 + 2√3 - 2 - 2)/3 = 2√3/3 

segundo triangulo
A(0, m+2), B(m, -2) , C(-m, -2)
A(0, 4 - 2√3), B(2 - 2√3, -2) , C(-2 + 2√3, -2)

baricentro
Gx = (0 + 2 - 2√3 - 2 + 2√3)/3 = 0
Gy = (4 - 2√3 - 2 - 2)/3 = -2√3/2 

4)

B(2;4) é um dos vértices, G(3;3) o seu baricentro e M(3;4) o ponto médio do lado BC.

(Bx + Cx) = 6
2 + Cx = 6
Cx = 4

(By + Cy) = 8
4 + Cy = 8
Cy = 4

C(4,4)

Gx = (Ax + Bx + Cx)/3 = 3
Gx = (Ax + 2 + 4)/3 = 3
Ax + 6 = 9
Ax = 3

Gy = (Ay + By + Cy)/3 = 3
Gy = (Ay +  4 + 4)/3 = 3
Ay + 8 = 9
Ay = 1

A(3,1) e C(4,4)

5) 

sejam os pontos de um quadrilatero

A(0,0) , B(x,0), C(x+k, y), D(k, y)

ponto médio  AC
Mx = (0 + x + k)/2 = (x + k)/2
My = (0 + y)/2 = y/2

ponto médio BD
Mx = (x + k)/2 = (x + k)/2
My = (0 + y)/2 = y/2