Question

1. Considere o vetor u = (2,1,4). Em relação ao vetor λ u obtido mul tiplicando o vetorpor um escalar λ € R, classifique as afirmações a seguir em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
a) Se λ = 2 então a norma de λ u(versor) é igual a duas vezes a norma de u (versor)
b) O vetor λ u(versor) terá sentido contrário ao u vetor somente se lambda λ = - 1

Questão 2. Dados os vetores u= (1/2,1,2) e v (3/2,-1,-1), encontre o versor do vetor u +3 v

Questão 3. Considere os vetores u = (-2,1,2) e v = (1,-2,-2). Usando o produto interno, determine os vetores w com ||w|| = 1 tais que seja a u ortogonal a e ortogonal a v simultaneamente.

4 Considere um maratonista que inicia sua corrida sobre um terreno plano no ponto de coordenadas A=(4,3). Sabendo que esse maratonista percorre 10 km na direção leste em 1h40m e percorre mais 12km na direção norte em 1h20m, determine a sua velocidade vetorial média, bem como a sua velocidade escalar média.

Questão 5. Analisando o valor dos ângulos internos do triângulo com vértices A= (1.0.0), B(4,3,0) e C = (4, 3, 6) determine se este triângulo é retângulo. Justi fique sua resposta.

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Answer 1

Vetores

Nesta questão vamos aplicar os seguintes conceitos relacionados a vetores:

• Norma ou Módulo de um vetor

É o comprimento do vetor, isto é, o tamanho do segmento limitado pela sua origem e extremidade.

$\vec{u}=(a,b,c)\Rightarrow ||\vec{u}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

• Multiplicação de um vetor por um escalar

Ao multiplicarmos um vetor por um número real (escalar), todas as suas componentes ficam multiplicadas por este mesmo escalar.

$\vec{u}=(x,y,z) \ e \ \alpha \in \mathbb{R}\Rightarrow \alpha\cdot \vec{u}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z)$

• Produto Interno ou Produto Escalar

É um número real associado ao módulo dos vetores e o ângulo por eles formado.

$\vec{u}=(x_1,y_1,z_1) \ e \ \vec{v}=(x_2,y_2,z_2)\Rightarrow\\\\\Rightarrow \begin{cases} x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2\\ou\\||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||\cdot \cos \theta\end{cases}$

Questão 1. Dado o vetor $\vec{u} = (2,1,4)$ e o escalar $\lambda$

a) Verdadeira.

O versor de u é dado por:

$||\vec{u}||=\sqrt{2^2+1^2+4^2}\\\\||\vec{u}||=\sqrt{4+1+16}\\\\||\vec{u}||=\sqrt{21}$

$versor \ de \ \vec{u}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{21}},\dfrac{1}{\sqrt{21}},\dfrac{4}{\sqrt{21}}\right)$

$||2\cdot versor \ de \ \vec{u}||=\sqrt{\dfrac{16}{21}+\dfrac{4}{21}+\dfrac{64}{21}}\\\\||2\cdot versor \ de \ \vec{u}||=\sqrt{\dfrac{84}{21}}\\\\||2\cdot versor \ de \ \vec{u}||=2=2\cdot ||versor \ de \ \vec{u}||$

b) Verdadeira.

Pois,

$\lambda \cdot versor \ de \ \vec{u}=\left(\dfrac{2\lambda}{\sqrt{21}},\dfrac{\lambda}{\sqrt{21}},\dfrac{4\lambda}{\sqrt{21}}\right)$

Fazendo $\lambda = -1$ teremos

$(-1) \cdot versor \ de \ \vec{u}=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{21}},-\dfrac{1}{\sqrt{21}},-\dfrac{4}{\sqrt{21}}\right)=-\dfrac{1}{21}\left(2,1,4}\right)$

cujo sentido é contrário ao do vetor u.

Questão 2. Sejam os vetores $\vec{u}= \left(\dfrac{1}{2}, 1,2\right)$ e $\vec{v} =\left(\dfrac{3}{2},-1,-1\right)$ teremos o seguinte vetor:

$\vec{w}=\vec{u}+3\vec{v}\\\\\vec{w}=\left(\dfrac{1}{2},1,2\right)+\left(\dfrac{9}{2},-3,-3\right)\\\\\vec{w}=(5,-2,-1)$

Cuja norma é dada por:

$||\vec{w}||=\sqrt{5^2+(-2)^2+(-1)^2}\\\\||\vec{w}||=\sqrt{25+4+1}\\\\||\vec{w}||=\sqrt{30}$

E possui versor igual a:

$versor \ de \ \vec{w}=\left(\dfrac{5}{\sqrt{30}},-\dfrac{2}{\sqrt{30}},-\dfrac{1}{\sqrt{30}}\right)$

Questão 3. Para que o vetor w seja simultaneamente ortogonal a u e v devemos ter:

$\vec{u}\cdot\vec{w}=0 \ e \ \vec{v}\cdot\vec{w}=0$

Sejam os vetores $\vec{u}=(-2,1,2), \vec{v}=(1,-2,-2), \vec{w}=(x,y,z)$ e calculando o produto interno obtemos:

$\vec{u}\cdot \vec{w}=(-2,1,2)\cdot (x,y,z)\\\\\vec{u}\cdot \vec{w}=-2x+y+2z\\\\-2x+y+2z=0 \ \ \ (I)\\\\\vec{v}\cdot \vec{w}=(1,-2,-2)\cdot (x,y,z)\\\\\vec{v}\cdot \vec{w}=x-2y-2z\\\\x-2y-2z=0 \ \ \ (II)$

Resolvendo o sistema com as equações (I) e (II) teremos:

$\begin{cases}-2x+y+2z=0 \ \ \ \ \ \ \ L_1: L_1+2L_2\\x-2y-2z=0 \end{cases}$

$\begin{cases}-3y-2z=0 \\x-2y-2z=0 \end{cases}$

Fazendo $z=t$, com $t\in \mathbb{R}$ temos a seguinte solução:

$\vec{w}=\left(\dfrac{2}{3}t,-\dfrac{2}{3}t,t\right)$

Como queremos os vetores com módulos unitários temos:

$||\vec{w}||^2=\dfrac{4t^2}{9}+\dfrac{4t^2}{9}+t^2=1^2\\\\17t^2=9\\\\t=\pm \dfrac{3}{\sqrt{17}}$

Dessa forma, os possíveis vetores w são:

$\vec{w}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{17}},-\dfrac{2}{\sqrt{17}},\dfrac{3}{\sqrt{17}}\right)\\\\ou\\\\\vec{w}=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{17}},\dfrac{2}{\sqrt{17}},-\dfrac{3}{\sqrt{17}}\right)$

Questão 4. Iniciando a maratona no ponto A=(4,3) e percorrendo 10km para leste teremos o ponto B=(14,3) e em seguida 12 km para o norte chegando ao ponto C=(14,15).

Assim teremos os vetores AB e BC e seu resultante AC.

Vetor AC:

$\vec{AC}=C-A=(10,12)\\\\||\vec{AC}||=\sqrt{10^2+12^2}\\\\||\vec{AC}||=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$

A variação do tempo foi de 3 horas logo a velocidade vetorial média é dada por:

$V_{vm}=\dfrac{|d|}{\Delta t}\\\\V_{vm}=\dfrac{2\sqrt{61}}{3}\approx 5,21 \ km/h$

Agora a velocidade escalar média é dada pela razão entre o espaço percorrido e o tempo de percurso.

$v_{em}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\\\\v_{em}=\dfrac{22}{3}\approx 7,33 \ km/h$

Questão 5. Calculando os vetores AB, BC e CA teremos:

AB = (3,3,0) $\Rightarrow |AB|=3\sqrt{2}$

BC = (0,0,6) $\Rightarrow|BC|=6$

CA = (-3,-3,-6) $\Rightarrow |CA|=3\sqrt{6}$

Calculando os cossenos dos ângulos internos teremos:

$\cos \alpha=\dfrac{3.0+3.0+0.6}{6.3\sqrt{2}}=0$

Como o cosseno entre os vetores AB e BC vale zero, isso significa que o triângulo é retângulo em B.

Para saber mais sobre Vetores acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/28106751

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