Question

1) Considere o sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela Parábola x² = 4ay e a reta y = a, com a > 0. Determine o valor de a se o volume do sólido é 50π.​

Answer 1

Para esse problema, é bom trabalhar com a integral em dy, portanto, primeiro deve-se isolar o x da função da parábola:

$x {}^{2} = 4ay \longrightarrow x = \pm \sqrt{4ay} \longrightarrow x = \pm2 \sqrt{ay}$

Tomando os elementos de volume paralelos ao eixo de rotação tem-se a seguinte relação:

$V = 2\pi\int\limits_{a}^{b}y.f(y)dy$

Se observar a imagem anexada, o raio é basicamente o "y" e o f(y) é dado pela função que possui um maior valor "x", subtraída da que possui um menor valor de "x", ou seja:

$f(y) = + 2 \sqrt{ay} - ( - 2 \sqrt{ay} ) \\ f(y) = 4 \sqrt{ay}$

Os limites de integração são desde 0 até "a", já que y = a é uma função que representa um valor de "y", ou seja, ela está no eixo y. Substituindo os dados, tem-se que:

$V = 2\pi\int\limits_{0}^{a}y.(4 \sqrt{ay} ) dy\\ \\ V = 2\pi\int\limits_{0}^{a}4y \sqrt{ay} \: dy \\ \\ V = 2\pi\int\limits_{0}^{a}4y.y {}^{ \frac{1}{2} } \sqrt{a} \: dy \\ \\ V = 2\pi\int\limits_{0}^{a}4y {}^{ \frac{3}{2} } \sqrt{a} \: dy \: \: \: \\ \\ V = 2\pi \sqrt{a} \int\limits_{0}^{a}4y {}^{ \frac{3}{2} } \: dy \: \: \: \: \\ \\ V = 2.4\pi \sqrt{a} \int\limits_{0}^{a}y {}^{ \frac{3}{2} } \: dy \: \: \\ \\ V = 8\pi \sqrt{a} . \left[ \frac{2y {}^{ \frac{5}{2} } }{5} \right ] \bigg|_{0}^{a} \\ \\ V = 8\pi \sqrt{a} . \frac{2.a {}^{ \frac{5}{2} } }{5} \\ \\ V = \frac{16\pi.a {}^{ \frac{1}{2}} .a {}^{ \frac{5}{2} } }{5} \\ \\ V = \frac{16\pi a {}^{3} }{5}$

A questão quer saber o valor de "a" para que o volume seja 50π, então:

$50\pi = \frac{16\pi a {}^{3} }{5} \\ \\ 250 \cancel{\pi }= 16 \cancel{\pi }a {}^{3} \\ \\ \frac{250}{16} = a {}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ a = \sqrt[3]{ \frac{250}{16} } \: \: \: \: \: \\ \\ a = \sqrt[3]{ \frac{125}{8} } \\ \\ \boxed{ a = \frac{5}{2} }$

Espero ter ajudado