Question

1)Considere o raio médio da órbita de Plutão cem vezes o raio médio da órbita de Mercúrio e 40 vezes o raio médio de órbita da Terra. Sabendo que a duração aproximada do ano de Mercúrio é de três meses terrestres e que a velocidade orbital da Terra tem intensidade igual a 30 km/s, determine:

Answer 1

Olá! Tudo bem? Essa questão aborda GRAVITAÇÃO!

Dados fornecidos no enunciado:
→ Raio de plutão ( $r_{P}$ ) é 40 vezes maior que o raio da Terra ($r_{T}$), portanto $r_{P}$ = 40.$r_{T}$
→ Velocidade orbital da Terra: v = 30 km/s

Sabendo que a duração aproximada do ano de Mercúrio é de três meses terrestres e que a velocidade orbital da Terra tem intensidade igual a 30 km/s, determine:
a) a duração do ano de Plutão expressa em anos terrestres;

O período de rotação de um planeta é expresso por 
T² = k . r³ (eq.1) , onde T é período, k é constante e r é o raio da orbita.

Para Plutão, a eq.1 torna-se  T² = k . ($r_{P}$)³ 
Para a Terra, a eq.1 torna-se 1² = k . ($r_{T}$)³ 
Como a constante k é igual para todos os planetas, podemos relacionar as duas expressões acima:
$\frac{T^2}{r_{P}^3}= \frac{1}{r_{T}^3}$
$T^2 = \frac{{r_{P}^3}}{r_{T}^3}}$
$T^2 = (\frac{{r_{P}}}{r_{T}})^3$
$T^2 = (\frac{{40r_{T}}}{r_{T}})^3$
$T^2 = (40{r_{T}})^3$
$T = 253$ anos.


b) a intensidade da velocidade orbital de Plutão.

Para a Terra, a relação entre a força gravitacional e a força centrípeta é: 
F(gravitacional) = F(centrípeta) 
GMm / ( $r_{T}$ )² = m . ( $v_{T}$ )² / ( $r_{T}$ ) 
GM = ( $v_{T}$ )² . $r_{T}$ , onde G é a constante gravitacional e M é a  massa do sol ) 

Para Plutão: 
F(gravitacional) = F(resultante centrípeta) 
GMm / ( $r_{P}$ )² = m . ( $v_{P}$ )² / ( $r_{P}$ ) 
( $v_{T}$ )² . $r_{T}$ = ( $v_{P}$ )² . $r_{P}$ 
( $v_{T}$ )² . $r_{T}$ = ( $v_{P}$ )² . ( 40 $r_{T}$ ) 
( $v_{P}$ )² = $\frac{(v_{T} )^2}{40}$
( $v_{P}$ )² = $\frac{(30)^2}{40}$
 $v_{P}$ = 4,74 km/s, é  a velocidade orbital de Plutão.