Question

1.     Considere o gráfico de uma função real, de variáveis reais, definida por f (x) = ax2 +bx + c . Pede-se determinar a lei de formação relacionada ao gráfico. 
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Answer 1

Após ser solucionado o enunciado concluímos que o valor a lei de formação relacionada ao gráfico é de:  

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x) = \dfrac{1}{2}\: x^{2} +2x + 3 } }$

Função do 2ª grau ou função quadrática é a função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$  definida por  f$\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c }$, com a, b, c reais e $\boldsymbol{ \textstyle \sf a\neq 0 }$.

Concavidade da parábola:

• Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

• Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Zeros da função quadrática:

$\Large \sf Se\begin {cases}\Delta = 0 \quad \text {\sf H\'a duas ra\'izes reais e iguais} \\\Delta > 0 \quad \text {\sf H\'a duas ra\'izes reais e distintas} \\\Delta < 0 \quad\begin {cases} \text {\sf N\~ao h\'a ra\'izes reais}\\ \text {\sf H\'a duas ra\'izes complexas e conjugadas}\end {cases}\end {cases}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf f (x) = ax^{2} +bx + c\\ \sf P_1 \: (\:-2, 1\: )\\ \sf P_2 \: (\:0, 3\: ) \\ \sf a = \:?\\ \sf b = \:? \\\sf c = \:? \end{cases} } }$

A coordenada do vértice x é dada por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_V = - \: \dfrac{b}{2a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ -2= - \: \dfrac{b}{2a} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf b = 4a }$

No ponto P ( 0, 3 ), temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = ax^{2} +bx + c } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 3 = a \cdot 0^{2} +b \cdot 0 + c } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3 =0 + 0 + c }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf c = 3 }$

No ponto P ( -2, 1 ), temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ 1 = a \cdot (-2)^2 +4a \cdot (-2) + 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 1 = 4a -8a + 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 1 = -4a + 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4a = 3 - 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4a = 2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a =\dfrac{2}{4} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = \dfrac{1}{2} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ b= 4a = \diagdown\!\!\!\! { 4}\:^2 \cdot \dfrac{1}{\diagdown\!\!\!\! {2}\:^1} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf b = 2 }$

Lei de formação da função.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{f(x) = ax^{2} +bx +c } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f(x) = \dfrac{1}{2} \? \:x^{2} + 2x + 3 }$

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