Question

1.Considere duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns elementos: *

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Answer 1

Triângulo de Pascal e a Relação de Stifel

   O triângulo de Pascal é, também, escrito como forma números binomiais.Veja a imagem.

   Na figura temos em suas laterais as notações $n=?$ e $p=?$. Isso significa que o número observado pode ser escrito na forma:

$\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Exemplo:

   O número 15. Observe que ele encontra-se em n = 6 e p = 2. Portanto,

$\binom 62=\dfrac{6!}{2!(4!)}\rightarrow \binom 62=\dfrac{6\cdot 5\cdot \diagup \! \! \! \! 4!}{2!\diagup \! \! \! \! 4!}\rightarrow \binom 62=\dfrac{30}{2}\therefore \binom 62=15.}$

   Além disso, existem algumas relações importantes que ocorrem no triângulo de pascal.

   Uma delas é a relação de Stifel. Esta, por sua vez, pode ser descrita da seguinte forma:

$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$

   Ou ou seja, realizaremos somas em "L" invertido e rotacionado em 90° (uahsuahs). Veja a segunda imagem.

Prova:

$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=$

$\dfrac{n!}{p!(n-p)!}+\dfrac{n!}{(p+1)!(n-(p+1)!}=$

$\dfrac{n!\cdot(p+1)}{(p+1)\cdot p!(n-p)(n-p-1)!}+\dfrac{n!}{(p+1)!(n-p-1!}=$

$\dfrac{n!}{(p+1)!(n-p-1)!}\cdot[\dfrac{p+1}{n-p}+1]=$

$\dfrac{n!}{(p+1)!(n-p-1)!}\cdot[\dfrac{p+1+n-p}{n-p}]=$

$\dfrac{n!(n+1)}{(p+1)!(n-p-1)!(n-p)}=$

   Organizando...

$\dfrac{(n+1)!}{(p+1)![(n+1)-(p+1)]!}=\binom{n+1}{p+1}$

   Existem também o Teorema das linhas, Teorema das colunas e o Teorema das diagonais. Vale à pena pesquisar.

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   Vamos à questão

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   Note que o 110 pode ser escrito pela relação de Stifel:

$26+a=110\therefore a=84$

   O mesmo ocorre com o "b":

$a+126=b\leftrightarrow 84+126=b\therefore b=210$

Saiba mais em:

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