Question

1. Considere duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns elementos. O valor de b é: * 1 ponto Imagem sem legenda a) 1 b) 375 c) 330 d) 255 2. Quantos elementos há na 15ª linha do Triângulo de Pascal? Qual é a soma desses elementos? * 1 ponto a) 16 elementos, 32 789 b) 15 elementos, 32 789 c) 15 elementos, 32 768 d) 16 elementos, 32 768

Answer 1

1-c) 330

2-d) 16 elementos, 32 768

do Google Classroom.

Answer 2

Utilizando formulações do triangulo de Pascal, obtemos que:

• 1) 330, letra C
• 2) 16 elementos, 32768 , letra D.

Explicação passo-a-passo:

1)

Provando o Resultado que Iremos Usar:

Nesta parte irei provar que a soma de dois valores de uma linha do triangulo de Pascal resultam no valor logo em baixo dela, se não tiver interesse pode pular direto para o proximo subtopico que é a resolução em si.

Qualquer elemento do triangulo de pascal 'E' é dada pela combinação de 'P' em 'L', onde 'P' é a posição na linha e 'L' é ordem da linha, ou seja:

$E_{P,L}={L \choose P} = \frac{L!}{P!(L-P)!}$

Assim podemo ver claramente que a soma entre dois valores consecutivos de uma linha são dados por P e P+1, então somando eles ficamos com:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!}{P!(L-P)!}+\frac{L!}{(P+1)!(L-P-1)!}$

Multiplicando cruzado para deixar todos na mesma base e somarmos a frações:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!(P+1)!(L-P-1)!}{P!(L-P)!(P+1)!(L-P-1)!}+\frac{L!P!(L-P)!}{P!(L-P)!(P+1)!(L-P-1)!}$

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!(P+1)!(L-P-1)! + L!P!(L-P)!}{P!(L-P)!(P+1)!(L-P-1)!}$

Tirando em evidência os menores fatoriais, temos que:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{P!(P-L-1)!(L!(P+1) + L!(L-P))}{P!(L-P)!(P+1)!(L-P-1)!}$

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!(P+1) + L!(L-P)}{(L-P)!(P+1)!}$

Abrindo as expressão em cima:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!P+L!+ L!L - L!P}{(L-P)!(P+1)!}$

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!+ L!L}{(L-P)!(P+1)!}$

Tirando L! em evidência:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{L!( L+ 1)}{(L-P)!(P+1)!}$

E note que em cima temos L! vezes L+1, isto é equivalente a (L+1)!:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{(L+ 1)!}{(L-P)!(P+1)!}$

E no primeiro parentese de baixo podemos somar e subtrair 1, pois 0 não afeta em nada:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{(L+ 1)!}{[(L+1)-P-1]!(P+1)!}$

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=\frac{(L+ 1)!}{[(L+1)-(P+1)]!(P+1)!}$

Note que agora o lado direito da equaçã ose tornou exatamente a combinação de P+1 em L+1, ou seja:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}={L+1 \choose P+1}$

Mas esta combinação é exatamente a coordenada P+1 da linha L+1:

$E_{P,L}+E_{P+1,L}=E_{P+1 , L+1}$

A Resolução da Questão em Si:

Agora vou explicar o que este resultado significa: Isto nos diz que toda vez que somamos dois termos consecutivos de uma linha de um triangulo de pascal, obtemos o proximo valor de mesma coordenadas na proxima linha, ou seja, se somarmos dois termos num triangulo de pascal obtemos o número bem em baixo destes dois números que acabamos de somar.

Usando estes resultado vamos a nossa questão:

Temos o número 45 seguido de 'a', e bem em baixo deles temos o valor 165, ou seja, a soma deles é 165:

45 + a = 165

a = 165 - 45

a = 120

Assim sabemos que esta linha na verdade é 45 , 120 e 210.

E agora vemos que 'b' está bem em baixo de 120 e 210, ou seja, se somarmos estes dois, teremos o valor de 'b':

b = 120 + 210

b = 330.

E assim temos que 'b' vale 330, letra C.

2)

Como eu já utilizei na questão anterior, sabemos que qualquer elemento de uma linha de Pascal é representado por:

$E_{P,L}={L \choose P}$

Então a linha completa seria todas combinações possíveis de P em L, que no caso da linha 15 seria:

${15 \choose 0}+{15 \choose 1}+{15 \choose 2}+{15 \choose 3}+{15 \choose 4}+{15 \choose 5}+{15 \choose 6}+{15 \choose 7}+{15 \choose 8}+{15 \choose 9}+{15 \choose 10}+{15 \choose 11}+{15 \choose 12}+{15 \choose 13}+{15 \choose 14}+{15 \choose 15}$

Assim vemos que como o primeiro termo começa em 0 e vai até 15, então esta linha possui 16 elementos.

E sabemos por propriedade que desta vez não irei provar por ser muito maior, que a soma de todos os elementos de uma linha N é dada por:

$S_N = 2^N$

Então no nosso caso:

$S_15 = 2^15 = 32768$

E assim temos que na 15ª linha temos 16 elementos e a soma destes é dada por 32.768, letra D.

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