Question

1.Considere as funções y= 2^x, y=0, x=0, y=-x+6. Encontre a área entre essas curvas.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{10-\dfrac{3}{\ln(2)}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

A área de uma região delimitada por duas curvas é calculada utilizando integrais duplas.

Deve-se calcular a seguinte integral dupla:

$\displaystyle{\iint_R\,dA$

O elemento de área pode ser reescrito como $dA=dy\,dx$ ou $dA=dx\,dy$. A ordem de integração é importante pois, de acordo com o Teorema de Fubini, os limites de integração da última variável a ser integrada devem ser numéricos.

Dadas as curvas definidas pelas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um determinado intervalo fechado $[a,~b]$, geralmente dado pelo enunciado ou encontrado ao calcular os pontos de intersecção das curvas, a área desta região pode ser calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx$, de forma que em todo o intervalo, $f(x)>g(x)$.

Então, sejam as funções $y=2^x$, delimitadas pelas retas $y=0,~x=0$ e $y=-x+6$.

Primeiro, observa-se que as retas $y=0$ e $x=0$ são os eixos coordenados. Geralmente, a integral calcula a área sob uma curva, que pode ser estendida pela definição para a área de uma região entre uma curva e o eixo das abscissas.

Ao igualarmos as curvas, não conseguimos calcular os pontos de intersecção com os conhecimentos de matemática básica: o resultado envolve a função generalizada de Lambert.

Ao esboçarmos os gráficos dessas curvas, facilmente observamos que elas  apresentam um ponto de intersecção em $(2,~4)$.

Assim, definem-se os limites de integração numéricos para a variável $x$: $0\leq x\leq 2$. Neste intervalo, observa-se que $2^x\leq y\leq -x+6$. Logo, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^2\int_{2^x}^{-x+6}\,dy\,dx$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma função exponencial é dada por: $\displaystyle{\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln(a)},~0<a\neq1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$.

Calcule a integral mais interna, lembrando que $\displaystyle{\int\,dy=\int1\,dy=\int y^0\,dy$

$\displaystyle{\int_0^2y~\biggr|_{2^x}^{-x+6}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^2-x+6-2^x\,dx$

Aplique a regra da soma, da potência e calcule a integral

$-\dfrac{x^2}{2}+6x-\dfrac{2^x}{\ln(2)}~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{2^2}{2}+6\cdot2-\dfrac{2^2}{\ln(2)}-\left(-\dfrac{0^2}{2}+6\cdot0-\dfrac{2^0}{\ln(2)}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$-\dfrac{4}{2}+12-\dfrac{4}{\ln(2)}-\left(-\dfrac{0}{2}+0-\dfrac{1}{\ln(2)}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e simplifique as frações

$-2+12-\dfrac{4}{\ln(2)}+\dfrac{1}{\ln(2)}$

Some os valores

$10-\dfrac{3}{\ln(2)}$

Este é o valor da área da região delimitada por estas curvas.