Question

1- Considere a seguinte relação sobre o conjunto dos números naturais:
xRy⇔x+y é par.
Verifique se essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva e disso conclua se ela é uma relação de equivalência.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Veja que a+b só será par se tivermos a e b pares ou ímpares.

Para mostrar que é uma relação de equivalência temos que mostrar que são válidas as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

i) Reflexiva

Para todo a pertencente a R temos a+a par. O que é verdade, pois:

Se a for par então será da forma 2k, com k pertencente a IN, assim a+a=2k+2k=2*(2k) que é par.

Se a for ímpar então será da forma 2k+1, com k pertencente a IN, assim a+a=2k+1+2k+1=2*(2k+1) que é par □

ii) Simétrica

Se a+b é par então b+a também será par, para todo a e b pertencente a R. O que é verdade, pois:

Se a e b forem pares, teremos a=2k e b=2t, com k, t pertencentes a IN, assim a+b=2k+2t=2t+2k=2 (t+k)=b+a que é par.

Se a e b forem ímpares, teremos a=2k+1 e b=2t+1, com k, t pertencentes a IN, assim a+b=2k+1+2t+1=2t+1+2k+1=2t+2k+2=2 (t+k+1)=b+a que é par □

iii) Transitiva

Se a+b for par e b+c também for par, então a+c será par. O que é verdade, pois:

Se a+b e b+c forem par então ou a, b e c são pares ou a, b e c são ímpares. Veja que obrigatoriamente a, b e c tem que ser pares ou ímpares, pois se tiver um deles diferentes então ou a+b ou b+c Não será par e portanto não pertencer a R.

Supondo a,b e c pares temos a=2k, b=2t e c=2m, com k, t e m pertencentes a IN, assim a+b=2k+2t=2 (k+t) que é par; b+c= 2t+2m=2 (t+m) que também é par. Portanto ambos pertencem a R

a+b+b+c=a+2b+c, subtraindo 2b obtemos

a+2b+c-2b=a+c, de fato

2k+2*2t+2m-2*2t=2k+2m=2 (k+m)=a+c que é par.

Supondo a,b e c ímpares temos a=2k+1, b=2t+1 e c=2m+1, com k, t e m pertencentes a IN, assim a+b=2k+1+2t+1=2k+2t+2=2 (k+t+1) que é par; b+c= 2t+1+2m+1=2t+2m+2=2 (t+m+1) que também é par. Portanto ambos pertencem a R.

a+b+b+c=a+2b+c, subtraindo 2b obtemos

a+2b+c-2b=a+c, de fato

2k+1+2*(2t+1)+2m+1-2*(2t+1)=2k+1+4t+2+2m+1-4t-2=2k+2m+2=2 (k+m+1)=a+c que é par.