Question

1. considere a função de variáveis reais dada por f(x)=x²+2x-3. construa seu gráfico e responda as questões seguintes.
a)Quais as coordenadas do vértice?
b)Quais as raízes dessa função?
c)Essa função tem ponto de máximo ou ponto de mínimo? Quais são as coordenadas desse ponto?
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Answer 1

a) Para encontrar as coordenadas do vértice podemos usar a noção de derivada de uma função.

A saber: Os vértices de uma função são máximos/mínimos da mesma e os máximos/mínimos são sempre zeros da 1ª derivada da função que estamos a estudar.

    $f'(x)=(x^2+2x-3)'\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(x^2)'+(2x)'-(3)'\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2x+2=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x+2-0\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2x=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x+2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow x=-1$

 x   |-∞     | -1 |     ∞          Conclui-se assim que o ponto de

f'(x) |    -    | 0 |    +          abcissa -1 é o vértice da parábola.

f(x) |  $\searrow$   |min|  $\nearrow$

    $f(-1)=1^2+2\times(-1)-3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-1)=1-2-3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-1)=-1-3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-1)=-4$

Resposta: O vértice da função é o ponto de coordenadas (-1 ; -4)

b) As raízes de uma função são os valores de x que tornam  $f(x)=0$ .

    $f(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2+2x-3=0$

    $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times(-3)}}{2\times1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4\times(-3)}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm4}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2-4}{2}\;\;\vee\;\;x=\dfrac{-2+4}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{2}\;\;\vee\;\;x=\dfrac{2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-3\;\;\vee\;\;x=1$

Resposta: As raízes da função são  $x\in\{-3\;;\;1\}$

c) As funções quadráticas apresentam sempre um máximo ou um mínimo - o seu vértice.

   Como demonstrado na alínea a), a função em estudo apresenta um mínimo de coordenadas (-1 ; -4).

Resposta: Esta função apresenta um ponto de mínimo de coordenadas (-1 ; -4)

Deixo em anexo a representação gráfica da função.

Podes ver mais exercícios sobre Funções do 2º Grau em:

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