1. Considerando uma elipse com centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse
.a) (13, 0) e (– 13, 0)
b) (0, 13) e (0, – 13)
c) (12, 0) e (– 12, 0)
d) (0, 12) e (0, – 12)
e) (5, 0) e (– 5, 0)
2). As coordenadas dos focos da elipse de equação abaixo são
a) (-10, 0) e (10, 0)
b) (0, 10) e (0, – 10)
c) (6, 0) e (-6, 0)
d) (0, 8) e (0, – 8)
e) (8, 0) e (– 8, 0)
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Soluções para a tarefa
Resposta: 1) D 2) E
Explicação: Corrigida pelo Classroom e também encontrei em um site a resposta
Utilizand oconceitos sobre equações de elipses, podemos encontrar os focos para as duas equações, que foram:
- 1) (0, 12) e (0, – 12) , letra D
- 2) (8, 0) e (– 8, 0) , letra E
Explicação:
1)
Quando temos uma elipse geral, temos que sua equação geral é dada da forma:
Onde o ponto ( Xo , Yo ) são as coordenadas do centro, 'a' é o tamanho do semi-eixo em x e 'b' é o tamanho do semi-eixo em y. Quando digo 'semi' quero dizer metade do valor total, ou seja, '2a' seria o valor do eixo em x e '2b' seria o valor do eixo em y.
Nesta questão já nos foi dado que o centro é a origem, ou seja, (0,0), então nossa equação pode ser reduzida:
E nos foi dito também que está elipse passa pelos pontos (5,0) e (0,13).
Sabemos que um elipse só toca os eixos de coordenadas em quatro pontos, duas vezes no eixo x na coordenada em (-a,0) e (a,0), e duas vezes no eixo y em (0,-b) e (0,b). Assim vemos que nossos pontos dados são os referentes aos positivos em x e y, ou seja:
(a,0) = (5,0) logo a = 5
(0,b) = (0,13) logo b = 13
Assim com estes valores, podemos descobrir também a semi-distância focal 'c', pois esta se relaciona com estes valores da forma:
b² = a² + c²
OBS: Note que a posição de 'a' e 'b' podem variar, sempre colocar no lado esquerdo da equação o valor do semi-eixo maior e nem sempre este é 'b', mas neste caso é.
Assim substituindo nossos valores, temos que:
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
c² = 169 - 25
c² = 144
c = 12
Assim temos que o valor da semi-distância focal é dada por 12 e com esta poderemos descobrir as coordenadas dos focos.
Os focos por sua vez sempre ficam no maior eixo, ou seja, como neste caso 'b' é maior, então os focos estão no eixo y, e suas coordenadas são:
F1 = ( 0 , -c )
F2 = ( 0 , c )
Assim substituindo nossos valores, temos que:
F1 = ( 0 , -12 )
F2 = ( 0 , 12 )
Assim nossos focos são (0, 12) e (0, – 12), letra D.
2)
Partindo da equação geral da elipse novamente, porém desta vez já considerando que o centro é em (0,0), temos:
E comparando com a nossa equação, temos que:
Assim vemos que nossos valores de semi-eixo são:
a² = 100
b² = 36
Ou seja, podemos calcular estes valores:
a = 10
b = 6
Assim vemos que neste caso o eixo maior é em x então a nossa relação de semi-eixos com o tamanho da semi-distância focal 'c' fica:
a² = b² + c²
Pois o semi-eixo maior sempre ficar para a esquerda. Substituindo nosso valores:
10² = 6² + c²
100 = 36 + c²
c² = 100 - 36
c² = 64
c = 8
Assim sabendo a semi-distância focal, podemos encontrar os focos, que desta vez estão sobre o eixo x, pois o eixo maior está sobre o eixo x, então:
F1 = ( -c , 0 )
F2 = ( c , 0 )
Assim substituindo os valors, temos:
F1 = ( -8 , 0 )
F2 = ( 8 , 0 )
Então temos que nossos focos são (8, 0) e (– 8, 0), letra E.
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