Question

1. Considerando os determinantes abaixo, calcule o número real x, tal que x = 3A – 2B + C².
1 ponto
Imagem sem legenda
a) x = 11
b) x = 12
c) x = 13
d) x = 14
2 - Dadas as matrizes abaixo, determine o valor de y para que detA = detB.
1 ponto
Imagem sem legenda
a) y = 6,5
b) y = 4,3
c) y = - 6,5
d) y = - 4,3

Answer 1

Resposta:

1- (c) x = 13

2-(a) y = 6,5

Answer 2

Utilizando conceito de calculo de determinantes de matrizes quadradas, temos que:

• 1) x = 13 , letra C.
• 2) y = 6,5 , letra A.

Explicação passo-a-passo:

1)

De acordo com as figuras em anexo, temos as seguintes matrizes:

$A=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix} \quad ; \quad B=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ 2 & 0\end{pmatrix} \quad ; \quad C=\begin{pmatrix} -2 & 4\\ 4 & -7\end{pmatrix}$

Como todas estas matrizes são do tipo quadradas 2 por 2, o calculo de suas determinantes é bem simples, este é simplesmente a multiplicação de sua diagonal principal subtraída da diagonal secundária. Para ficar mais facil entender o que quis dizer com isto, vamos tomar uma matriz genérica M, cujos componentes são dados por Mij, onde "i" simboliza a coordenada da linha e "j" simboliza a coordenada da coluna:

$M=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12}\\ M_{21} & M_{22}\end{pmatrix}$

E o determinante desta suposta matriz é calculado por:

$detM=M_{11}\times M_{22}-M_{12}\times M_{21}$

Assim fazendo este mesmo calculo para as nossas trÊs matrizes, obteremos:

$detA = 3\times (-1) - (-2)\times 1 = -1$

$detB = 0\times (-1) - 2\times 3 = -6$

$detC = (-2)\times (-7) - 4\times 4 = -2$

Assim com estes valores, poderemos substituir na equação que nos foi dada e encontrar o valor de 'x':

$x= 3A- 2B + C^2$

$x= 3(-1)- 2(-6) + (-2)^2$

$x= -3 - (-12) + 4$

$x= -3 + 12 + 4$

$x= 13$

Assim temos que x vale 13, letra C.

2)

Da mesma forma nos foi dada as duas matrizes:

$A=\begin{pmatrix} 2 & y\\ 3 & 9\end{pmatrix} \quad ; \quad B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & y \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

E como já sabemos calcular o determinante de matrizes 2 por 2, o determinante de A já é conhecido:

$detA = 2\times 9 - 3\times y = 18 - 3y$

Porém ainda não falamos como se calcula determinantes de matrizes 3 por 3. Nestes casos especificos, a determinante é calculada pela soma da multiplicação de todas as diagonais primeiras subtraidas da multiplicação das diagonais secundarias. Para melhor entender, vamos novamente ilustrar com uma matriz M cujos componentes são Mij, sendo 'i' a coordenada das linhas e 'j' das colunas:

$M=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{pmatrix}$

E neste caso a determinante é calculada por:

$detM=M_{11}M_{22}M_{33}+M_{12}M_{23}M_{31}+M_{13}M_{21}M_{32} - M_{13}M_{22}M_{31} - M_{12}M_{21}M_{33} - M_{11}M_{23}M_{32}$

E com isso podemos calcular o determinante da nossa matriz dada B:

$detB=1.3.1+(-1).y.(-1)+0.2.2 - 0.3.(-1) - (-1).2.1 - 1.y.2=5-y$

E agora que sabemos ambos os determinantes, queremos que um seja igual ao outro, então vamos montar a equação igualando estes:

$detA = detB$

$18-3y = 5-y$

Isolando y poderemos descobrir seu valor:

$-3y + y = 5-18$

$-2y = -13$

$2y = 13$

$y = \frac{13}{2}$

$y = 6,5$

E assim temos que para estas duas determinantes serem iguais, precisamos que y seja igual a 6,5 , letra A.

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