Question

1 ) considerando a relação trigonométrica $sen^{2}x + cos^{2} x =1$, calcule a inversa da matriz a seguir ("essa matriz é chamada de " matiz e rotação") :
A= $\left[\begin{array}{ccc}cos 0& sen 0&\\-sen 0&cos0\end{array}\right]$

Answer 1

Utilizando sistema de equações e as relações dadas, temos que nossa matriz inversa é dada por:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sen(\theta)\\sen(\theta)&cos(\theta)\end{array}\right]$

Explicação passo-a-passo:

Então temos nossa seguinte matriz:

$A=\left[\begin{array}{ccc}cos(\theta)&sen(\thete)\\-sen(\theta)&cos(\theta)\end{array}\right]$

Queremos uma matriz inversa que satisfaça a seguinte equação:

$A.A^{-1}=I$

A matriz A inversa tem o seguinte formato:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Então efetuando as operações de matrizes queremos os seguintes resultados:

$a.cos(\theta)+c.sen(\theta)=1$

$-a.sen(\theta)+c.cos(\theta)=0$

$b.cos(\theta)+d.sen(\theta)=0$

$-b.sen(\theta)+d.cos(\theta)=1$

Note que estas equações são satisfeitas se :

$a=cos(\theta)$

$b=-sen(\theta)$

$c=sen(\theta)$

$d=cos(\theta)$

(Substitua esses resultados nas equações e usando a propriedades dadas no enunciado, poderá ver que é verdade).

Então nossa matriz inversa é:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sen(\theta)\\sen(\theta)&cos(\theta)\end{array}\right]$