Question

1- Com a Teoria da Relatividade, Albert Einstein mudou para sempre a nossa compreensão do espaço e do

tempo. Um veículo espacial, para um observador fixo na superfície da Terra, viaja durante 10 anos com uma

velocidade igual a 60% da velocidade da luz no vácuo. Para um tripulante do veículo espacial, a viagem teve a

duração de:

a) 2,50 anos.

b) 7,50 anos.

c) 10,00 anos
d) 12,5 anos.

e) 22,5 anos.​

Answer 1

Para o tripulante do veículo espacial, a viagem teve a duração de 8 anos.

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É possível tenha havido algum erro por parte do autor na digitação ou formulação da questão, pois o resultado não está presente nas alternativas. Apenas está presente o resultado para o tempo decorrido caso 10 anos fosse o tempo decorrido para o viajante (caso Δt₀ = 10 anos), o que não é o caso.

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Cálculo

A dilatação temporal, ou dilatação do tempo, é uma ideia decorrente da Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Possuindo relações com o Fator de Lorentz, ela postula, de forma simples, que, em velocidades próximas a da luz, a dimensão de tempo se diferencia em relação ao seu comportamento em condições consideradas normais.

Em termos matemáticos, o tempo decorrido em relação ao referencial de movimento é proporcional ao tempo decorrido dentro do referencial de movimento em razão da raiz da subtração entre 1 e a velocidade do referencial de movimento em razão da velocidade da luz, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta t = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}} ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta t \Rightarrow tempo ~ decorrido ~ em ~ condic{\!\!,}\tilde{o}es ~ normais~ (em ~ s)$

$\large \sf \Delta t_0 \Rightarrow tempo ~ decorrido ~ em ~ velocidades ~ pr\acute{o}ximas ~a ~ da ~luz ~ (em ~ s)$

$\large \sf v \Rightarrow velocidade ~ do ~ referencial ~ de ~ movimento ~ (em ~ m/s ~ ou ~ c)$

$\large \sf c \Rightarrow velocidade ~ da ~ luz ~ (em ~ m/s ~ ou ~ c)$

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Aplicação

Sabe-se, de acordo com o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta t = 10 ~ anos \\\sf \Delta t_0 = \textsf{? anos} \\\sf v = 60~\!\texttt{\%} =\textsf{0,6 c} \\\sf c = \textsf{1 c} \\\end{cases}$

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Assim, tem-se que:

$\Large \text{ \sf 10 = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \dfrac{\textsf{0,6}^2}{1^2}}} }$

$\Large \text{ \sf 10 = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 -\textsf{0,36}}} }$

$\Large \text{ \sf 10 = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{\textsf{0,64}}} }$

$\Large \text{ \sf 10 = \dfrac{\Delta t_0}{\textsf{0,8}} }$

$\Large \sf \Delta t_0 = 10 \cdot \textsf{0,8}$

$\boxed {\boxed {\Large \sf \Delta t_0 = \textsf{8 anos}}}$

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