Question

1) Calcule os valores:

a) Considere todos os números formados usando os quatro algarismos 1, 2, 3 e 4. Formamos a seguinte expressão numérica:

S₄ = 4321 − 4312 + 4231 − 4213 + . . . + 1243 − 1234,

na qual os números são listados da esquerda para a direita do maior para o menor, e os sinais + e − alternam-se ate o final. Calcule o valor de S₄.

b) De modo análogo, tomamos todos os números de nove algarismos distintos e n ´ ao nulos e formamos a expressão numérica:

S₉ = 987654321 − 987654312 + 987654231 − . . . − 123456789,

na qual os números são listados da esquerda para a direita do maior para o menor, e os sinais + e − alternam-se ate o final. Calcule o valor de S₉

Answer 1

a)Percebemos que : 
S₄ = 4321 − 4312 + 4231 − 4213 + . . . + 1243 − 1234 =
21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 32 - 23 + 42 - 24 + 43 - 34
Somando tudo :
S₄ = 21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 32 - 23 + 42 - 24 + 43 - 34 =
9 + 18 + 27 + 9 + 18 + 9 = 90
Logo S₄ = 90
b)Podemos perceber que:
S₉ = 21 - 12 + 31 - 13 + ....  + 89 - 89 
Tambem podemos ver que cada uma das diferencas da um multiplo de 9 ,pois :
xy - yx = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y)
Logo :
  S₄ =  
  21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 51 - 15 + 61 - 16 + 71 - 17 + 81 - 18 + 91 - 19  +32 - 23 + 42 - 24 + 52 - 25 + 62 - 26 + 72 - 27 + 82 - 28 + 92 - 29
                                                                .
                                                                .
                                                                .  
  87 - 78 + 97 - 79
  98 - 89
  =                                                                    
  9 + 18 + 27 + 36 + ... + 72
+9 + 18 + 27 + 36 + ... + 63
  9 + 18 + 27 + 36 + ... + 54
                  .
                  .
                  .
  9 + 18
  9 
=
  324
  252
+189
  135 
   90
   54 
   27
    9
   -------
   1080

RESPOSTA : S₉ = 1080