Question

1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções:

a) f(x) = -3x² + 2x
b) f(x) = 2x² - 3x – 2
c) f(x) = -4x² + 4x - 1

Answer 1

As parábolas possuem: a) valor máximo igual a 1/3 e imagem igual a (-∞,1/3], b) valor mínimo igual a -25/8 e imagem igual a [-25/8,∞), c) valor máximo igual a 0 e imagem igual a (-∞,0].

As coordenadas do vértice de uma parábola são iguais a:

xv = -b/2a e yv = -Δ/4a.

Se a parábola tem concavidade para cima, então o vértice é ponto de mínimo e se a parábola tem concavidade para baixo, então o vértice é ponto de máximo.

a) A parábola y = -3x² + 2x tem concavidade para baixo. Logo, existe um valor máximo.

Calculando o valor de delta:

Δ = 2² - 4.(-3).0

Δ = 4.

Logo,

V = (-2/2.(-3), -4/4.(-3))

V = (1/3,1/3).

O valor máximo é 1/3 e a imagem é (-∞,1/3].

b) A parábola y = 2x² - 3x - 2 possui concavidade para cima. Logo, existe um valor mínimo.

Calculando o valor de delta:

Δ = (-3)² - 4.2.(-2)

Δ = 9 + 16

Δ = 25.

Portanto, o vértice é igual a:

V = (3/2.2, -25/4.2)

V = (3/4, -25/8).

O valor mínimo é -25/8 e a imagem é [-25/8,∞).

c) A parábola y = -4x² + 4x - 1 possui concavidade para baixo. Logo, existe um valor máximo.

Calculando o valor de delta:

Δ = 4² - 4.(-4).(-1)

Δ = 16 - 16

Δ = 0.

O vértice é igual a:

V = (-4/2.(-4), -0/4.(-4))

V = (1/2,0)

O valor máximo é 0 e a imagem é (-∞,0].