Question

1.Calcule o limite,caso exista:
a)$lim_{x \to -2} \frac{2x^{3}+9x^{2} +12x+4 }{-x^{3}-2x^{2} +4x+8 }$
Explicação por favor

Answer 1

Se simplesmente substituirmos $x$ por -2, obteremos uma indeterminação do tipo 0/0. No entanto, o fato de ambos os polinômios zerarem ao substituirmos

No caso do numerador, ao dividirmos ele por x+2, ficamos com (utilizarei o método de Briot-Ruffini para realizar as divisões):

-2 | 2  9  12 | 4

   | 2   5  2  | 0  

Achando assim que $2x^3+9x^2+12x+4=(x+2)(2x^2+5x+2)$. No caso do denominador, ficamos com:

-2 | -1  -2  4 | 8

   |  -1  0  4  | 0  

Achando assim que $-x^3-2x^2+4x+8=(x+2)(-x^2+4)$. Dessa forma, temos que:

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)(2x^2+5x+2)}{(x+2)(-x^2+4)}$

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\lim_{x\to-2}\frac{2x^2+5x+2}{-x^2+4}$

Substituindo agora $x$ por -2:

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\frac{2\cdot(-2)^2+5\cdot(-2)+2}{-(-2)^2+4}$

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\frac{8-10+2}{-4+4}$

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\frac{0}{0}$

Como obtivemos o novamente um resultado 0/0, podemos simplificar novamente a fração. No caso do numerador, temos que:

-2 | 2  5 | 2

   |  2  1 | 0

Achando assim que $2x^2+5x+2=(x+2)(2x+1)$. No caso do numerador, ele é uma diferença de quadrados, então podemos dizer que $-x^2+4=(2+x)(2-x)$, logo:

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)(2x+1)}{(2+x)(2-x)}$

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)(2x+1)}{(x+2)(2-x)}$

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\lim_{x\to-2}\frac{2x+1}{2-x}$

Substituindo $x$ por -2:

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=\frac{2\cdot(-2)+1}{2-(-2)}$

$\lim_{x\to-2}\frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}=-\frac{3}{4}$

Answer 2

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x \to -2} \frac{2x^{3}+9x^{2} +12x+4 }{-x^{3}-2x^{2} +4x+8 }$

Para resolver esse limite, podemos fazer de várias maneiras, vou mostrar a que eu sempre uso, já que não sou muito bom na fatoração apenas olhando a expressão. A maneira que eu uso é ir fazendo divisões polinomiais. Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende, só para observar se há ou não indeterminação:

$\lim_{x \to -2} \frac{2 .( - 2)^{3}+9.( - 2)^{2} +12. (- 2)+4 }{-( - 2)^{3}-2.( - 2)^{2} +4. ( - 2)+8 } \\ \\ \lim_{x \to -2} \frac{ - 16 + 36 - 24 + 4}{8 - 8 - 8 + 8} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x \to -2} \frac{40 - 40}{16 - 16} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x \to -2} \frac{0}{0} \to indeterminac \tilde{a}o \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

De fato surgiu uma indeterminação. Sabendo disso, podemos dizer então que o valor a qual o "x" tende, é uma raiz das duas funções do limite, ou seja, podemos usar o método de Briot-Ruffini, já que sabemos que -2 é uma raiz.

• Aplicando Briot-Ruffini nas duas expressões do limite:

$\begin{array}{c|c} - 2&2&9&12&4 \\ & \underbrace{2}_{grau \: 2}&\underbrace{5}_{grau \: 1}&\underbrace{2}_{grau \: 0}& \underbrace{0}_{resto}&&&& \\ \end{array} \\ \boxed{ 2x {}^{2} + 5x + 2} \\ \\ \begin{array}{c|c} - 2& - 1& - 2&4&8\\ & \underbrace{ - 1}_{grau \: 2}&\underbrace{0}_{grau \: 1}&\underbrace{4}_{grau \: 0}& \underbrace{0}_{resto}&&&& \\ \end{array} \\ \boxed{ - x {}^{2} + 4}$

Como sabemos, uma raiz é expressa na forma de (x - a), sendo o "a" a própria raiz. Partindo dessa ideia, vamos escrever o nosso termo -2 na forma citada ali no começo (x - a):

$(x - a) \to (x - ( - 2)) \to (x + 2)$

E uma coisa interessante, é que se você multiplicar a raiz nessa forma pela expressão que você obtém, o resultado será a expressão inicial, logo podemos escrever a expressão como:

$1) \: \: (2x {}^{2} + 5x + 2).(x + 2) \\ 2) \: \: ( - x {}^{2} + 4).(x + 2) \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Observe que ainda podemos fatorar, para isso basta encontrar as raízes dessas equações do segundo grau e escrever a equação na sua forma reduzida que é dada por a.(x - x').(x - x"), sendo esses termos x' e x" as raízes e "a" o coeficiente do termo que acompanha x².

$2 { {x} }^{2} + 5x + 2 = 0 \longrightarrow \begin{cases}x _{1} = - \frac{1}{2} \\ x _{1} = - 2 \end{cases} \\ 2. \left(x + \frac{1}{2} \right ).(x + 2)\\ - x {}^{2} + 4 = 0\longrightarrow \begin{cases}x _{1} = 2 \\ x _{1} = - 2 \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 1.(x - 2).(x + 2)$

Escrevendo essas expressões no local daquelas que escrevemos ali em cima:

$1) \: \: 2. \left(x + \frac{1}{2} \right).(x + 2) .(x + 2)\longrightarrow (2x + 1).(x + 2) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2) \: \: - 1.(x - 2).(x + 2) .(x + 2) \longrightarrow - 1.(x - 2).(x + 2) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora que fizemos essas fatorações, vamos substituir as mesmas no local das anteriores dentro do limite:

$\lim_{x \to -2} \frac{(2x + 1).(x + 2) {}^{2} }{ - 1.(x - 2).(x + 2) {}^{2} }$

Quando temos dois termos iguais e um deles escontra-se no numerador e o outro no denominador, podemos então cancelá-los:

$\lim_{x \to -2} \frac{(2x + 1). \cancel{(x + 2) {}^{2}} }{ - 1.(x - 2). \cancel{(x + 2) {}^{2}} } \\ \\ \lim_{x \to -2} \frac{2 x+ 1}{ - x + 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Certamente sumimos com a indeterminação, então podemos substituir novamente o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{x \to -2} \frac{2x + 1}{ - x + 2} \longrightarrow \lim_{x \to -2} \frac{2.( - 2) + 1}{ - ( - 2) + 2} \longrightarrow \lim_{x \to -2} \frac{ - 4 + 1}{ 2+ 2} \\ \\ \lim_{x \to -2} \frac{ - 3}{4} \longrightarrow\frac{-3}{4}$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \lim_{x \to -2} \frac{2x {}^{3} + 9x {}^{2} + 12x + 4}{ - x {}^{3} - 2x {}^{2} + 4 x+ 8} = - \frac{3}{4}}}}}$

Espero ter ajudado